Théorème 1Courbes

Théorème fondamental des courbes planes

Un déplacement du plan est une application $x \mapsto Ax + c$ , où $c \in {\mathbb R^2}$ et $A$ est une rotation $A = \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}.$ Une rotation conserve la norme et le déterminant, et commute avec $j$ (Courbure plane).

Énoncé

Soit $I$ un intervalle ouvert, $\kappa : I \to {\mathbb R}$ continue, $\sigma_0 \in I$ , $p_0 \in \mathbb R^2$ et $\theta_0$ réel.

(i) Existence et unicité. Il existe une unique courbe $\delta : I \to \mathbb R^2$ de classe $C^2$ , paramétrée par la longueur, de courbure $\kappa$ , telle que $\delta(\sigma_0) = p_0$ et $\delta'(\sigma_0) = (\cos\theta_0, \sin\theta_0)$ . Elle est donnée par $\begin{aligned} \theta(\sigma) &= \theta_0 + \int_{\sigma_0}^\sigma \kappa, \\ \delta(\sigma) &= p_0 + \int_{\sigma_0}^\sigma e\big(\theta(u)\big)\,du, \end{aligned}$ où $e(\vartheta) = (\cos\vartheta, \sin\vartheta)$ .

(ii) À déplacement près. Deux courbes de classe $C^2$ paramétrées par la longueur sur $I$ , de même courbure, se déduisent l'une de l'autre par un déplacement.

(iii) Une courbe de courbure constante $\kappa_0 \neq 0$ est un arc du cercle de rayon $\frac1{|\kappa_0|}$ ; une courbe de courbure nulle est un segment de droite.

Démonstration

(i) Existence. La fonction $\theta$ est de classe $C^1$ , de dérivée $\kappa$ (Théorème fondamental) ; $\delta$ est de classe $C^2$ , et $\delta' = (\cos\theta, \sin\theta)$ est unitaire. Alors $T' = \theta'\,(-\sin\theta, \cos\theta) = \kappa\, j(T),$ donc $\delta$ a pour courbure $\kappa$ ; les conditions en $\sigma_0$ sont satisfaites.

Unicité. Soit $\tilde\delta$ une courbe qui convient. Le relèvement (Courbure plane, (ii)) écrit $\tilde\delta' = (\cos\tilde\theta, \sin\tilde\theta)$ avec $\tilde\theta$ de classe $C^1$ , $\tilde\theta(\sigma_0) = \theta_0$ et $\tilde\theta' = \kappa$ . Donc $\tilde\theta - \theta$ est de dérivée nulle et nulle en $\sigma_0$ : $\tilde\theta = \theta$ . Alors $\tilde\delta'= \delta'$ et $\tilde\delta(\sigma_0) = \delta(\sigma_0)$ , d'où $\tilde\delta = \delta$ .

(ii) Soient $\delta$ et $\tilde\delta$ deux telles courbes, et $\theta_0$ , $\tilde\theta_0$ tels que $\delta'(\sigma_0) = (\cos\theta_0, \sin\theta_0)$ et $\tilde\delta'(\sigma_0) = (\cos\tilde\theta_0, \sin\tilde\theta_0)$ (Le nombre π, (iii)). Soit $A$ la rotation d'angle $\varphi = \tilde\theta_0 - \theta_0$ et $c = \tilde\delta(\sigma_0) - A\delta(\sigma_0)$ .

La courbe $A\delta + c$ est paramétrée par la longueur, et sa courbure est $\det(A\delta', A\delta'') = \det A\,\det(\delta', \delta'') = \kappa$ . Par les formules d'addition, parties réelle et imaginaire de $\exp(i(\theta_0 + \varphi)) = \exp(i\theta_0)\exp(i\varphi)$ , on a $A\delta'(\sigma_0) = \tilde\delta'(\sigma_0)$ , et $A\delta(\sigma_0) + c = \tilde\delta(\sigma_0)$ . L'unicité de (i) donne $A\delta + c = \tilde\delta$ .

(iii) Si $\kappa = \kappa_0 \neq 0$ , alors $\theta(\sigma) = \theta_0 + \kappa_0(\sigma - \sigma_0)$ , et la fonction $\eta(\sigma) = \frac1{\kappa_0}\big(\sin\theta(\sigma), -\cos\theta(\sigma)\big)$ a pour dérivée $(\cos\theta, \sin\theta) = \delta'$ . Donc $\delta - \eta$ est constante, égale à un point $m$ , et $\|\delta(\sigma) - m\| = \|\eta(\sigma)\| = \frac1{|\kappa_0|}$ . Si $\kappa = 0$ , $\theta$ est constante, et $\delta(\sigma) = p_0 + (\sigma - \sigma_0)(\cos\theta_0, \sin\theta_0)$ .

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Remarque

Le théorème dit que la courbure, fonction de l'abscisse curviligne, est un invariant complet des courbes planes à déplacement près : c'est une « équation intrinsèque ». La courbe de courbure $\kappa(\sigma) = \sigma$ , par exemple, est la clothoïde, dont les ingénieurs se servent pour raccorder une ligne droite à un virage sans à-coup de l'accélération latérale.

Remarque

L'erreur la plus répandue est d'oublier l'hypothèse « paramétrée par la longueur ». Une fonction $\kappa(t)$ donnée en fonction d'un paramètre quelconque ne détermine rien : la même courbe a autant de fonctions de courbure que de paramétrages.

Remarque

Dans l'espace, la courbure seule ne suffit plus : l'hélice et le cercle ont tous deux une courbure constante. Il faut un second invariant, la torsion, et l'intégration explicite est remplacée par un système différentiel linéaire (Théorème fondamental des courbes).

Repose sur

Courbure d'une courbe plane et repère de Frenet du plan

Sert à

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