ChapitreÉquations différentielles

Courbes planes et courbes de l'espace

Une courbe régulière se reparamètre par sa longueur ; on lit alors sa géométrie sur ses dérivées successives. Dans le plan, la courbure est la vitesse de rotation de la tangente, et elle détermine la courbe à déplacement près, par deux intégrations. Dans l'espace, le repère de Frenet d'une courbe birégulière obéit aux formules de Frenet-Serret, qui font apparaître un second invariant, la torsion ; l'hélice circulaire a une courbure et une torsion constantes.

Le théorème fondamental des courbes affirme que la courbure et la torsion, données en fonction de l'abscisse curviligne, déterminent la courbe à déplacement près. Le repère de Frenet est la solution d'un système différentiel linéaire de matrice antisymétrique ; c'est pourquoi le chapitre est placé ici, après les systèmes linéaires. Les fonctions $\cos$ et $\sin$ de l'analyse réelle, reliées par l'analyse complexe à $\exp(i\theta)$, y servent au relèvement de l'angle de la tangente, au théorème fondamental des courbes planes et aux exemples. Aucune forme du choix n'intervient.