Proposition 2Courbes

L'hélice circulaire

Pour $a > 0$ et $b$ réel, l'hélice circulaire est la courbe $\gamma(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)$ , $t \in {\mathbb R}$ , tracée sur le cylindre de rayon $a$ d'axe $Oz$ , dont elle monte de $2\pi b$ à chaque tour. On note $w = \sqrt{a^2 + b^2}$ .

Énoncé

(i) $\gamma$ est régulière, d'abscisse curviligne $s(t) = wt$ à partir de $0$ .

(ii) Sa courbure et sa torsion sont constantes : $\kappa = \frac{a}{a^2 + b^2}, \qquad \tau = \frac{b}{a^2 + b^2}.$

(iii) Son repère de Frenet en $t$ est $\begin{aligned} T &= \tfrac1w(-a\sin t, a\cos t, b), \\ N &= (-\cos t, -\sin t, 0), \\ B &= \tfrac1w(b\sin t, -b\cos t, a). \end{aligned}$ La normale principale est horizontale et pointe vers l'axe ; la tangente et la binormale font avec l'axe des angles constants.

(iv) Pour $\kappa_0 > 0$ et $\tau_0$ réel, l'hélice de paramètres $a = \frac{\kappa_0}{\kappa_0^2 + \tau_0^2}$ et $b = \frac{\tau_0}{\kappa_0^2 + \tau_0^2}$ a pour courbure $\kappa_0$ et pour torsion $\tau_0$ .

Démonstration

(i) Par $\cos' = -\sin$ et $\sin' = \cos$ (Exponentielle, (iv)), $\begin{aligned} \gamma' &= (-a\sin t, a\cos t, b), \\ \gamma'' &= (-a\cos t, -a\sin t, 0), \\ \gamma''' &= (a\sin t, -a\cos t, 0), \end{aligned}$ et $\|\gamma'\| = w$ puisque $\cos^2 + \sin^2 = 1$ . Donc $\gamma' \neq 0$ et $s(t) = wt$ .

(ii) Un calcul direct donne $\gamma' \wedge \gamma'' = (ab\sin t, -ab\cos t, a^2)$ , de norme $a\sqrt{b^2 + a^2} = aw$ , qui ne s'annule pas. Le déterminant vaut $\begin{aligned} \langle \gamma' \wedge \gamma'', \gamma''' \rangle &= a^2b\sin^2 t + a^2b\cos^2 t \\ &= a^2b. \end{aligned}$ Les formules du nœud Repère de Frenet, (iii), donnent $\kappa = \frac{aw}{w^3} = \frac{a}{w^2}$ et $\tau = \frac{a^2b}{a^2w^2} = \frac{b}{w^2}$ .

(iii) Dans la démonstration du point (iii) du nœud Repère de Frenet, $T = \gamma'/s'$ et $\gamma' \wedge \gamma'' = s'^3\kappa B$ , avec $s' = w$ : on obtient $T$ et $B$ , puis $N = B \wedge T$ (Repère de Frenet, (i)), soit $N = \tfrac{a^2 + b^2}{w^2}\,(-\cos t, -\sin t, 0),$ qui est la valeur annoncée, puisque $w^2 = a^2 + b^2$ . Les troisièmes coordonnées de $T$ et $B$ , $\frac bw$ et $\frac aw$ , sont les cosinus d'angles constants avec l'axe.

(iv) Pour ces valeurs, $a^2 + b^2 = \frac{1}{\kappa_0^2 + \tau_0^2}$ , donc $\frac{a}{a^2 + b^2} = \kappa_0$ et $\frac{b}{a^2 + b^2} = \tau_0$ ; on applique (ii).

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Remarque

L'hélice

a = 1

b = 0{,}25

, vue de biais en projection parallèle, la partie située derrière l'axe étant en gris, avec son repère de Frenet en deux points :

T

en rouge,

N

en bleu,

B

en vert. La normale

N

est toujours horizontale et pointe vers l'axe vertical, en pointillé ;

T

B

gardent la même inclinaison, ici

\kappa = \frac{16}{17}

\tau = \frac{4}{17}

Le signe de la torsion distingue les hélices droites ( $b > 0$ , comme les vis ordinaires) des hélices gauches ( $b < 0$ ), images les unes des autres dans un miroir. La courbure, elle, ne voit pas cette différence.

Remarque

Le cas $b = 0$ est le cercle de rayon $a$ : $\kappa = \frac1a$ et $\tau = 0$ , comme en dimension $2$ (Courbure plane). Quand $a \to 0$ à $b$ fixé, l'hélice s'enroule sur son axe et $\kappa \to 0$ : la courbure d'une hélice de rayon petit devant son pas est faible, parce qu'elle ressemble à une droite.

Remarque

L'hélice est une géodésique du cylindre : quand on déroule le cylindre sur le plan, elle devient une droite, ce que montrera le nœud Géodésiques. C'est pourquoi un fil tendu entre deux points d'une bobine prend la forme d'un arc d'hélice.

Repose sur

Repère de Frenet et formules de Frenet-Serret

Sert à

Théorème fondamental des courbes de l'espace