Géodésiques d'une surface

(i) $c' = u'x_u + v'x_v$ appartient à $P(\beta)$, donc $\langle c', c' \rangle' = 2\langle c'', c' \rangle = 0$.

(ii) En dérivant $c' = u'x_u + v'x_v$ par la règle de la chaîne, puis en remplaçant $x_{uu}$, $x_{uv}$, $x_{vv}$ par leurs décompositions (Symboles de Christoffel), $$\begin{aligned} c'' &= u''x_u + v''x_v + u'^2x_{uu} \\ &\quad + 2u'v'x_{uv} + v'^2x_{vv} \\ &= \big(u'' + \textstyle\sum_{i, j}\Gamma^1_{ij}\,u_i'u_j'\big)x_u \\ &\quad + \big(v'' + \textstyle\sum_{i, j}\Gamma^2_{ij}\,u_i'u_j'\big)x_v \\ &\quad + I\!I(c')\,N, \end{aligned}$$ où $(u_1, u_2) = (u, v)$. L'accélération est normale si et seulement si ses composantes sur $x_u$ et $x_v$, base de $P(\beta)$, sont nulles. Les symboles ne dépendent que de $E$, $F$, $G$ (même lemme, (ii)).

(iii) Pour $(m, p, q) \in U \times \mathbb R^2$ et $k \in \{1, 2\}$, posons $Q^k = \sum_{i, j}\Gamma^k_{ij}(m)\,p_ip_j$, avec $(p_1, p_2) = (p, q)$, et $$Z(m, p, q) = \big(p,\ q,\ -Q^1,\ -Q^2\big).$$ C'est un champ de vecteurs de classe $C^\infty$ sur l'ouvert $U \times \mathbb R^2$ de $\mathbb R^4$, et $\beta$ est une géodésique si et seulement si $(\beta, \beta')$ est une courbe intégrale de $Z$. Le théorème des solutions maximales (Solutions maximales, (ii)) donne l'existence et l'unicité de la courbe intégrale maximale issue de $(m, w)$, sur un intervalle ouvert. Si une courbe intégrale $Y$ est de classe $C^k$, $Y' = Z(Y)$ l'est aussi : par récurrence, $Y$ est de classe $C^\infty$.

(iv) Pour $\tilde\beta(t) = \beta(\lambda t + \mu)$, $\tilde\beta' = \lambda\beta'$ et $\tilde\beta'' = \lambda^2\beta''$ : les deux membres de (ii) sont multipliés par $\lambda^2$. Ainsi $t \mapsto \beta_w(\lambda t)$ est une géodésique de vitesse initiale $\lambda w$ ; par unicité, c'est la restriction de $\beta_{\lambda w}$, et la maximalité donne l'égalité des intervalles pour $\lambda \neq 0$.

(v) Pour le plan $(u, v, 0)$ et le cylindre, $E$, $F$, $G$ sont constants, donc les symboles sont nuls, et (ii) se réduit à $u'' = v'' = 0$. Sur le cylindre, $c(t) = (\cos(at + b), \sin(at + b), ct + d)$ est une génératrice si $a = 0$, un cercle si $c = 0$, une hélice sinon (Hélice circulaire). Pour le grand cercle, $\|c\|^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$, et $c'' = -c$ est orthogonal au plan tangent de la sphère en $c(t)$, qui est l'orthogonal de $c(t)$ (Tangent à une sous-variété).