Définition 2Surfaces

Première forme fondamentale, longueurs et angles

Soit $x : U \to {\mathbb R^3}$ une surface paramétrée régulière. La première forme fondamentale en $(u, v)$ est la restriction au plan tangent $P(u, v)$ de la forme quadratique $w \mapsto \langle w, w \rangle$ . Dans la base $(x_u, x_v)$ , elle s'écrit $I(a\,x_u + b\,x_v) = Ea^2 + 2Fab + Gb^2,$ avec les fonctions de classe $C^\infty$ $\begin{aligned} E &= \langle x_u, x_u \rangle, \\ F &= \langle x_u, x_v \rangle, \\ G &= \langle x_v, x_v \rangle. \end{aligned}$

Deux surfaces paramétrées régulières $x$ et $y$ définies sur le même ouvert $U$ sont isométriques si elles ont les mêmes fonctions $E$ , $F$ et $G$ .

Énoncé

(i) $EG - F^2 = \|x_u \wedge x_v\|^2 > 0$ : la matrice $\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}$ est symétrique et définie positive.

(ii) Longueurs. Si $\beta = (u, v) : I \to U$ est une courbe de classe $C^1$ , la courbe $c = x \circ \beta$ tracée sur la surface a pour longueur entre $a$ et $b$ $L_a^b(c) = \int_a^b \sqrt{I\big(c'(t)\big)}\,dt,$ avec $I(c') = Eu'^2 + 2Fu'v' + Gv'^2$ , les coefficients étant évalués en $\beta(t)$ .

(iii) Changement de paramètres. Pour $\tilde x = x \circ \varphi$ , de matrice jacobienne $J_\varphi$ , $\begin{pmatrix} \tilde E & \tilde F \\ \tilde F & \tilde G \end{pmatrix} = {}^tJ_\varphi \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}\!\circ \varphi\; J_\varphi.$

(iv) Isométries. $x$ et $y$ sont isométriques si et seulement si, pour toute courbe $\beta$ de classe $C^1$ dans $U$ , les courbes $x \circ \beta$ et $y \circ \beta$ ont même longueur.

(v) Angles. La fonction $\cos$ est une bijection strictement décroissante de $[0, \pi]$ sur $[-1, 1]$ , et $\sin > 0$ sur $]0, \pi[$ . L'angle de deux vecteurs non nuls $w_1$ et $w_2$ est l'unique $\vartheta \in [0, \pi]$ tel que $\cos\vartheta = \frac{\langle w_1, w_2 \rangle}{\|w_1\|\,\|w_2\|}$ .

Démonstration

(i) C'est l'identité de Lagrange (Repère de Frenet, (i)). La forme $I$ est définie positive sur $P(u, v)$ , donc sa matrice dans une base l'est.

(ii) Par la règle de la chaîne, $c' = u'x_u + v'x_v$ , et $\|c'\|^2 = I(c')$ ; on applique la définition de la longueur (Courbes et longueur).

(iii) Par la démonstration du nœud Surfaces paramétrées, (i), les colonnes de la matrice de $(\tilde x_{\tilde u}, \tilde x_{\tilde v})$ dans la base $(x_u, x_v)$ sont celles de $J_\varphi$ ; la matrice d'une forme bilinéaire change par congruence.

(iv) Si $E$ , $F$ , $G$ coïncident, (ii) donne les mêmes longueurs. Réciproquement, soit $(u_0, v_0) \in U$ , $h \in \mathbb R^2$ et $\beta(t) = (u_0, v_0) + th$ , défini pour $|t|$ petit. La longueur entre $0$ et $t$ de $x \circ \beta$ est une fonction dérivable de $t$ , de dérivée en $0$ égale à $\sqrt{I_x(h)}$ , où $I_x(h) = Eh_1^2 + 2Fh_1h_2 + Gh_2^2$ en $(u_0, v_0)$ (Théorème fondamental). L'égalité des longueurs donne donc $I_x(h) = I_y(h)$ pour tout $h$ . Deux formes quadratiques égales ont la même forme polaire, donc les mêmes coefficients.

(v) Par Le nombre π, (i), $\frac\pi2$ est le plus petit zéro strictement positif du cosinus ; comme $\cos 0 = 1$ , le théorème des valeurs intermédiaires donne $\cos > 0$ sur $[0, \frac\pi2[$ , et $\cos\frac\pi2 = 0$ . Comme $\sin' = \cos$ et $\sin 0 = 0$ , $\sin$ est strictement croissante sur $[0, \frac\pi2]$ , donc $\sin > 0$ sur $]0, \frac\pi2]$ ; alors $\cos' = -\sin < 0$ sur $]0, \frac\pi2]$ , et $\cos$ décroît strictement de $1$ à $0$ sur $[0, \frac\pi2]$ (Monotonie, (iii)).

De $\exp(i\pi) = -1$ et $\exp(i(\pi - t)) = \exp(i\pi)\exp(-it)$ on tire $\cos(\pi - t) = -\cos t$ et $\sin(\pi - t) = \sin t$ : $\cos$ décroît strictement de $0$ à $-1$ sur $[\frac\pi2, \pi]$ , et $\sin > 0$ sur $]0, \pi[$ . Continue et strictement décroissante, $\cos$ est une bijection de $[0, \pi]$ sur $[-1, 1]$ (Valeurs intermédiaires). Le quotient qui définit l'angle est dans $[-1, 1]$ par l'inégalité de Cauchy-Schwarz (Espaces de Hilbert, (i)).

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Remarque

Le plan $x(u, v) = (u, v, 0)$ et le cylindre $y(u, v) = (\cos u, \sin u, v)$ ont tous deux $E = G = 1$ et $F = 0$ : ils sont isométriques. C'est le fait familier qu'on enroule une feuille de papier en cylindre sans la froisser ni la déchirer, et que les longueurs tracées sur la feuille ne changent pas.

Remarque

La sphère de rayon $R$ , paramétrée par la latitude $u \in \,]{-\frac\pi2}, \frac\pi2[$ et la longitude $v$ , $x(u, v) = (R\cos u\cos v, R\cos u\sin v, R\sin u)$ , a $E = R^2$ , $F = 0$ et $G = R^2\cos^2 u$ . Le coefficient $G$ dit qu'un degré de longitude est plus court près des pôles qu'à l'équateur. Le Theorema egregium (Theorema egregium) montrera qu'aucun paramétrage d'un morceau de sphère n'a les coefficients du plan.

Remarque

La première forme est une métrique au sens de Riemann : la donnée, en chaque point, d'un produit scalaire sur le plan tangent. Le nœud Métriques riemanniennes détache cette notion de l'espace ambiant.

Repose sur

Surfaces paramétrées régulières

Sert à

Aire d'une surface paramétrée Application de Gauss, seconde forme fondamentale et théorème de Meusnier