Définition 3Surfaces

Métriques riemanniennes

Soit $M$ une variété différentiable de dimension $d$ . Une métrique riemannienne sur $M$ est la donnée, pour chaque carte $(U, \varphi)$ d'un atlas de $M$ , d'une application $g^\varphi$ de classe $C^\infty$ de $\varphi(U)$ dans les matrices symétriques définies positives de taille $d$ , telles que, pour deux cartes $(U, \varphi)$ et $(V, \psi)$ de l'atlas, en notant $\tau = \psi \circ \varphi^{-1}$ et $J = J_\tau(z)$ , $g^\varphi(z) = {}^tJ\,g^\psi\big(\tau(z)\big)\,J$ pour $z \in \varphi(U \cap V)$ . C'est la donnée d'un produit scalaire sur chaque espace tangent, lu dans les cartes, qui varie de façon $C^\infty$ . La longueur d'une courbe $c : [a, b] \to U$ de classe $C^1$ , contenue dans le domaine d'une carte, est $L(c) = \int_a^b \sqrt{{}^t\gamma'\,g^\varphi(\gamma)\,\gamma'}\,dt,$ où $\gamma = \varphi \circ c$ et où $\gamma$ , $\gamma'$ sont évalués en $t$ .

Énoncé

(i) Cohérence. La longueur ne dépend pas de la carte qui contient la courbe.

(ii) Métrique induite. Si $M$ est une sous-variété de dimension $d$ de ${\mathbb R^n}$ , munie de l'atlas du nœud Exemples de variétés, (i), les matrices $g^\varphi(z) = {}^tJ_{\varphi^{-1}}(z)\,J_{\varphi^{-1}}(z)$ définissent une métrique riemannienne, et la longueur d'une courbe est sa longueur dans $\mathbb R^n$ . Pour une surface de $\mathbb R^3$ , $g^\varphi$ est la matrice de la première forme fondamentale du paramétrage $\varphi^{-1}$ .

(iii) Demi-plan de Poincaré. Sur $\mathbb H = \{(u, v) \in \mathbb R^2 : v > 0\}$ , la matrice $g = \frac{1}{v^2}{I_2}$ définit une métrique riemannienne. L'expression de Brioschi du nœud Theorema egregium, $\mathcal K = \frac{\det M_1 - \det M_2}{(EG - F^2)^2}$ , calculée avec $E = G = \frac1{v^2}$ et $F = 0$ , vaut $-1$ en tout point.

Démonstration

(i) Soit $(V, \psi)$ une autre carte contenant la courbe. Alors $\psi \circ c = \tau \circ \gamma$ , et la règle de la chaîne donne $(\psi \circ c)' = J_\tau(\gamma)\,\gamma'$ . Donc $\begin{aligned} &{}^t(\psi \circ c)'\,g^\psi(\psi \circ c)\,(\psi \circ c)' \\ &\quad = {}^t\gamma'\,{}^tJ\,g^\psi(\tau \circ \gamma)\,J\,\gamma' = {}^t\gamma'\,g^\varphi(\gamma)\,\gamma'. \end{aligned}$

(ii) La réciproque d'une carte de l'atlas cité est $z \mapsto \Phi^{-1}(z, 0)$ , de classe $C^\infty$ , de différentielle injective ; $g^\varphi$ est donc de classe $C^\infty$ , symétrique, et ${}^th\,g^\varphi h = \|J_{\varphi^{-1}}h\|^2 > 0$ pour $h \neq 0$ . De $\varphi^{-1} = \psi^{-1} \circ \tau$ on tire $J_{\varphi^{-1}} = J_{\psi^{-1}}(\tau)\,J_\tau$ , d'où la relation de compatibilité. Enfin $c = \varphi^{-1} \circ \gamma$ donne $c' = J_{\varphi^{-1}}(\gamma)\,\gamma'$ et $\|c'\|^2 = {}^t\gamma'\,g^\varphi(\gamma)\,\gamma'$ .

(iii) $\mathbb H$ est un ouvert de $\mathbb R^2$ , variété d'atlas $\{\mathrm{id}\}$ , et $g$ est de classe $C^\infty$ et définie positive. Avec $E = G = v^{-2}$ et $F = 0$ , $E_u = G_u = 0$ , $E_v = G_v = -2v^{-3}$ et $E_{vv} = 6v^{-4}$ . La formule développée du nœud Theorema egregium, (iii), conséquence algébrique de l'expression de Brioschi, donne $\begin{aligned} 4v^{-8}\mathcal K &= -2v^{-4}\cdot 6v^{-4} \\ &\quad + v^{-2}\cdot 4v^{-6} + 4v^{-6}\cdot v^{-2}, \end{aligned}$ soit $4v^{-8}\mathcal K = -4v^{-8}$ , et $\mathcal K = -1$ .

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Remarque

B. Riemann a exposé cette notion dans sa leçon d'habilitation « Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen », prononcée à Göttingen le 10 juin 1854, et publiée après sa mort par R. Dedekind au tome 13 des Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Il y détache la géométrie de l'espace ambiant : la variété et sa métrique suffisent.

Remarque

Courbure d'une métrique abstraite, admis ici. Le Theorema egregium montre que l'expression de Brioschi est la courbure de Gauss lorsque la métrique provient d'une surface de $\mathbb R^3$ . Pour une métrique quelconque de dimension $2$ , on la prend pour définition de la courbure ; qu'elle ne dépende pas de la carte n'est pas démontré ici. La difficulté contournée est un calcul de changement de variables portant sur les dérivées secondes des coefficients, que l'on évite d'ordinaire en définissant la courbure par la connexion de Levi-Civita.

Remarque

Le demi-plan de Poincaré n'est pas un artifice : ses géodésiques sont les demi-droites verticales et les demi-cercles centrés sur l'axe réel, et il réalise la géométrie non euclidienne de Lobatchevski et Bolyai, où la somme des angles d'un triangle est inférieure à $\pi$ , comme le prédirait la formule de Gauss-Bonnet pour une courbure $-1$ . Celle-ci n'est démontrée ici (Gauss-Bonnet, (iii)) que pour les surfaces de $\mathbb R^3$ .

Repose sur

Theorema egregium de Gauss

Sert à

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