Théorème 3Surfaces

Theorema egregium de Gauss

Soit $x : U \to {\mathbb R^3}$ une surface paramétrée régulière, de première forme fondamentale $E$ , $F$ , $G$ , et $K$ sa courbure de Gauss (Courbures). Les indices désignent des dérivées partielles.

Énoncé

(i) Formule de Brioschi. $K\,(EG - F^2)^2 = \det M_1 - \det M_2$ , où, en notant $m = -\frac12 E_{vv} + F_{uv} - \frac12 G_{uu}$ , $s_1 = F_u - \frac12 E_v$ et $s_2 = F_v - \frac12 G_u$ , $M_1 = \begin{pmatrix} m & \frac12 E_u & s_1 \\ s_2 & E & F \\ \frac12 G_v & F & G \end{pmatrix},$ $M_2 = \begin{pmatrix} 0 & \frac12 E_v & \frac12 G_u \\ \frac12 E_v & E & F \\ \frac12 G_u & F & G \end{pmatrix}.$

(ii) Theorema egregium. La courbure de Gauss ne dépend que de $E$ , $F$ , $G$ et de leurs dérivées partielles d'ordre au plus $2$ . Deux surfaces paramétrées isométriques ont la même courbure de Gauss en chaque point de $U$ .

(iii) Coordonnées orthogonales. Si $F = 0$ , $\begin{aligned} 4E^2G^2K &= -2EG\,(E_{vv} + G_{uu}) \\ &\quad + E_uG_uG + EE_vG_v \\ &\quad + E_v^2G + EG_u^2. \end{aligned}$ Si de plus $E = 1$ , alors $\displaystyle K = -\frac{(\sqrt G)_{uu}}{\sqrt G}$ .

Démonstration

(i) Étape 1 : déterminants. Pour tout vecteur $a$ , $\langle a, x_u \wedge x_v \rangle = \det(x_u, x_v, a) = \det(a, x_u, x_v)$ (Repère de Frenet, (i)). Comme $N = \frac{x_u \wedge x_v}{\sqrt{EG - F^2}}$ (Première forme, (i)), on obtient, en notant $D(a) = \det(a, x_u, x_v)$ , $e\sqrt{EG - F^2} = D(x_{uu}),$ et de même $f\sqrt{EG - F^2} = D(x_{uv})$ , $g\sqrt{EG - F^2} = D(x_{vv})$ . Par le nœud Courbures, (ii), $\begin{aligned} &K(EG - F^2)^2 = (eg - f^2)(EG - F^2) \\ &\quad = D(x_{uu})\,D(x_{vv}) - D(x_{uv})^2. \end{aligned}$

Étape 2 : matrices de Gram. Pour deux matrices carrées $A$ et $B$ , $\det A\,\det B = \det({}^tAB)$ (Déterminant d'une matrice, (ii) et (iii)), et ${}^tAB$ est la matrice des produits scalaires des colonnes de $A$ par celles de $B$ . Avec les colonnes $(x_{uu}, x_u, x_v)$ et $(x_{vv}, x_u, x_v)$ , puis $(x_{uv}, x_u, x_v)$ deux fois, et le lemme Symboles de Christoffel, (i), on obtient $\det M_1'$ et $\det M_2'$ , où $M_1'$ et $M_2'$ sont $M_1$ et $M_2$ dans lesquelles le coefficient en haut à gauche est remplacé par $\langle x_{uu}, x_{vv} \rangle$ et $\langle x_{uv}, x_{uv} \rangle$ .

Étape 3 : le seul terme suspect. Développons selon la première ligne (Comatrice) : le cofacteur du coefficient en haut à gauche vaut $EG - F^2$ dans les deux matrices, et les autres termes ne dépendent pas de ce coefficient. Donc $\begin{aligned} &\det M_1' - \det M_2' - (\det M_1 - \det M_2) \\ &\quad = (EG - F^2)\Big(\langle x_{uu}, x_{vv} \rangle - \|x_{uv}\|^2 \\ &\qquad\quad - \big(F_{uv} - \tfrac12 E_{vv} - \tfrac12 G_{uu}\big)\Big). \end{aligned}$

Or, $x$ étant de classe $C^3$ , le théorème de Schwarz permet de dériver dans l'ordre que l'on veut, et $\begin{aligned} \langle x_{uu}, x_v \rangle_v &= \langle x_{uuv}, x_v \rangle + \langle x_{uu}, x_{vv} \rangle, \\ \langle x_{uv}, x_v \rangle_u &= \langle x_{uuv}, x_v \rangle + \|x_{uv}\|^2. \end{aligned}$ La différence est $\langle x_{uu}, x_{vv} \rangle - \|x_{uv}\|^2 = \big(F_u - \frac12 E_v\big)_v - \big(\frac12 G_u\big)_u$ , par le lemme cité, (i) : la parenthèse est nulle.

(ii) Les coefficients de $M_1$ et $M_2$ ne font intervenir que $E$ , $F$ , $G$ et leurs dérivées d'ordre au plus $2$ , et $EG - F^2 > 0$ . Des surfaces isométriques ont les mêmes $E$ , $F$ , $G$ sur $U$ , donc les mêmes dérivées et la même courbure.

(iii) Pour $F = 0$ , on développe les deux déterminants selon leur première ligne : $\begin{aligned} \det M_1 &= -\tfrac12(E_{vv} + G_{uu})EG \\ &\quad + \tfrac14 E_uG_uG + \tfrac14 EE_vG_v, \\ \det M_2 &= -\tfrac14 E_v^2G - \tfrac14 EG_u^2. \end{aligned}$ On multiplie la différence par $4$ . Si de plus $E = 1$ , il reste $4G^2K = -2GG_{uu} + G_u^2$ . En posant $h = \sqrt G > 0$ , $G_u = 2hh_u$ et $G_{uu} = 2h_u^2 + 2hh_{uu}$ , d'où $4h^4K = -4h^3h_{uu}$ .

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Remarque

C. F. Gauss a présenté les Disquisitiones generales circa superficies curvas à la Société royale de Göttingen le 8 octobre 1827 ; elles ont paru en 1828 dans les Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores, t. 6, p. 99-146. Le théorème est à l'article 12, sous la forme : si une surface est appliquée sur une autre, la mesure de courbure en chaque point reste inchangée. Gauss l'appelle theorema egregium, « théorème remarquable », parce que $K$ , défini par la normale, donc par la façon dont la surface est placée dans l'espace, se révèle intrinsèque.

Remarque

Cartographie. Pour la sphère de rayon $R$ en latitude et longitude, $E = R^2$ , $F = 0$ , $G = R^2\cos^2 u$ , et (iii) redonne $K = \frac1{R^2}$ , déjà obtenu au nœud Premiers exemples. Une carte plane qui respecterait toutes les longueurs d'une région de la Terre serait un paramétrage de cette région isométrique au plan, de courbure nulle : il n'en existe pas. Toute carte déforme donc les distances, et les cartographes choisissent ce qu'ils sacrifient (angles, aires ou distances le long de certaines lignes).

Remarque

La formule (iii) s'écrit aussi $K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\Big[\Big(\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\Big)_v + \Big(\frac{G_u}{\sqrt{EG}}\Big)_u\Big],$ comme on le vérifie en développant les deux dérivées.

Remarque

Le cas $E = 1$ , $F = 0$ est celui des coordonnées polaires géodésiques (Coordonnées polaires géodésiques), où $K = -\frac{(\sqrt G)_{rr}}{\sqrt G}$ dit comment la courbure fait diverger ou converger les géodésiques issues d'un point : sur la sphère unité, $\sqrt G = \sin r$ et $K = 1$ .

Repose sur

Symboles de Christoffel Courbures principales, courbure de Gauss et courbure moyenne

Sert à

Coordonnées polaires géodésiques et lemme de Gauss Métriques riemanniennes