Coordonnées polaires géodésiques et lemme de Gauss

La base $(\eta_1, \eta_2)$ existe : on prend une base orthonormée $(e_1, e_2)$ du plan $P(m)$ et ses antécédents par l'isomorphisme $dx(m)$ de $\mathbb R^2$ sur $P(m)$.

(i) $X$ est de classe $C^\infty$ comme composée (Exponentielle, (ii)). Par le même nœud, (i), et le changement d'échelle des géodésiques, $\operatorname{Exp}_m(r\,\omega(\theta)) = \beta_{\omega(\theta)}(r)$ pour $|r| < \varepsilon$ ; $r \mapsto X(r, \theta)$ est donc une géodésique, de vitesse initiale $dx(m)\,\omega(\theta) = \cos\theta\,e_1 + \sin\theta\,e_2$, unitaire. Sa vitesse reste unitaire (Géodésiques, (i)), et son accélération $X_{rr}$ est normale.

(ii) Comme $X_{rr}$ est normal et $X_\theta$ tangent, et que $X_{r\theta} = X_{\theta r}$ (Schwarz), $$\begin{aligned} \partial_r\langle X_r, X_\theta \rangle &= \langle X_{rr}, X_\theta \rangle + \langle X_r, X_{\theta r} \rangle \\ &= 0 + \tfrac12\partial_\theta\|X_r\|^2 = 0. \end{aligned}$$ Or $X(0, \theta) = p$ pour tout $\theta$, donc $X_\theta(0, \theta) = 0$. La fonction $\langle X_r, X_\theta \rangle$, de dérivée nulle en $r$ et nulle en $r = 0$, est nulle.

(iii) Soit $\Xi = x \circ \operatorname{Exp}_m$, de classe $C^\infty$ sur $B_m(0, \varepsilon)$. Par la règle de la chaîne, $X_\theta(r, \theta) = d\Xi(r\,\omega(\theta))\big(r\,\omega'(\theta)\big) = r\,Y(r, \theta)$, avec $$Y(r, \theta) = d\Xi\big(r\,\omega(\theta)\big)\,\omega'(\theta),$$ fonction de classe $C^\infty$. Comme $d\Xi = dx \circ d\operatorname{Exp}_m$ est injective sur la boule et $\omega'(\theta) \neq 0$, $Y$ ne s'annule pas, et $h = \|Y\|$ est de classe $C^\infty$ et strictement positive. En $r = 0$, $Y = dx(m)\,\omega'(\theta) = -\sin\theta\,e_1 + \cos\theta\,e_2$, de norme $1$.

Pour $r > 0$, $X_r$ et $X_\theta$ sont orthogonaux par (ii) et non nuls, donc $X_r \wedge X_\theta \neq 0$, et $E = \|X_r\|^2 = 1$, $F = 0$, $\sqrt G = rh$. Enfin $(rh)_r = h + rh_r$ vaut $1$ en $r = 0$.

(iv) Pour $0 < r_0 < \varepsilon$ et $\theta_0$ réel, l'application $\Pi(r, \theta) = \operatorname{Exp}_m(r\,\omega(\theta))$ a une différentielle inversible en $(r_0, \theta_0)$, composée de $d\operatorname{Exp}_m$ et de la différentielle de $(r, \theta) \mapsto r\,\omega(\theta)$, de déterminant $r_0\det(\eta_1, \eta_2) \neq 0$. Par l'inversion locale, $\Pi$ est un changement de paramètres d'un voisinage de $(r_0, \theta_0)$ sur un ouvert, et $X = x \circ \Pi$ y a la courbure $K$ (Courbures, (iii)). Le Theorema egregium (Theorema egregium, (iii)), pour $E = 1$, $F = 0$, donne $K = -\frac{(\sqrt G)_{rr}}{\sqrt G}$.

En $r = 0$ : la fonction $(\sqrt G)_{rr}$ est continue, et, pour $r > 0$, elle vaut $-K\,rh$, qui tend vers $0$ quand $r \to 0$ puisque $K$ est continue. Donc $(\sqrt G)_{rr}(0, \theta) = 0 = K\,\sqrt G(0, \theta)$.

(v) On paramètre la sphère privée du pôle sud par la réciproque de la projection stéréographique (Exemples de variétés, (ii)). Pour $e(\theta) = \cos\theta\,e_1 + \sin\theta\,e_2$, le grand cercle $r \mapsto \cos r\,p + \sin r\,e(\theta)$ a une accélération normale (Géodésiques, (v)), la vitesse initiale $e(\theta)$, et reste dans la carte tant que $|r| < \pi$ ; par unicité, c'est $r \mapsto X(r, \theta)$. Alors $X_\theta = \sin r\,(-\sin\theta\,e_1 + \cos\theta\,e_2)$, de norme $|\sin r|$, et $\sin r > 0$ sur $]0, \pi[$ (Première forme, (v)). Pour $0 < r < \pi$, $X_r$ est unitaire et $X_\theta$, non nul, lui est orthogonal : la différentielle de $x \circ \operatorname{Exp}_m$ envoie la base $(\omega(\theta), \omega'(\theta))$ sur une famille libre, et celle de l'exponentielle est inversible. On peut donc prendre $\varepsilon = \pi$ (voir aussi la remarque du nœud Exponentielle).