Proposition 4Surfaces

Application exponentielle

Soit $x : U \to {\mathbb R^3}$ une surface paramétrée régulière, $m \in U$ , et, pour $w \in \mathbb R^2$ , $\beta_w$ la géodésique maximale telle que $\beta_w(0) = m$ et $\beta_w'(0) = w$ (Géodésiques, (iii)). On note $\|w\|_m = \sqrt{E w_1^2 + 2F w_1w_2 + G w_2^2} = \|dx(m)w\|$ , les coefficients étant pris en $m$ : c'est une norme sur $\mathbb R^2$ (Première forme, (i)).

L'application exponentielle en $m$ est $\operatorname{Exp}_m(w) = \beta_w(1)$ , définie sur l'ensemble $O_m$ des $w$ tels que $\beta_w$ soit définie en $1$ .

Énoncé

(i) $O_m$ est un ouvert de $\mathbb R^2$ contenant $0$ . Si $w \in O_m$ et $t \in [0, 1]$ , alors $tw \in O_m$ et $\operatorname{Exp}_m(tw) = \beta_w(t)$ .

(ii) $\operatorname{Exp}_m$ est de classe $C^\infty$ sur $O_m$ , et $d\operatorname{Exp}_m(0) = \mathrm{id}$ .

(iii) Il existe $\varepsilon > 0$ tel que la boule $B_m(0, \varepsilon)$ de la norme $\|\cdot\|_m$ soit contenue dans $O_m$ et que $\operatorname{Exp}_m$ induise un C^\infty-difféomorphisme de $B_m(0, \varepsilon)$ sur un ouvert de $U$ .

Démonstration

(i) Soit $Z$ le champ de vecteurs sur $U \times \mathbb R^2$ de la démonstration du nœud Géodésiques, (iii), $\phi$ son flot et $D$ le domaine de ce flot. La courbe intégrale issue de $(m, 0)$ est constante, définie sur $\mathbb R$ . Le nœud Domaine du flot, (iii), dit que $D$ est ouvert ; et $\operatorname{Exp}_m(w)$ est formé des deux premières coordonnées de $\phi_1(m, w)$ , si bien que $O_m = \{w : (1, (m, w)) \in D\}$ , image réciproque d'un ouvert par une application continue, est ouvert et contient $0$ .

Si $w \in O_m$ et $t \in [0, 1]$ , le changement d'échelle (Géodésiques, (iv)) donne $\beta_{tw}(s) = \beta_w(ts)$ , et $ts$ parcourt $[0, t] \subset [0, 1]$ quand $s$ parcourt $[0, 1]$ : $\beta_{tw}$ est définie en $1$ , et $\operatorname{Exp}_m(tw) = \beta_w(t)$ . Pour $t = 0$ , $\beta_0$ est constante.

(ii) Le champ $Z$ est de classe $C^\infty$ , donc le flot $(t, y) \mapsto \phi_t(y)$ l'est sur $D$ (Flot de classe Cᵏ), et $\operatorname{Exp}_m$ aussi, comme composée. Pour $w$ fixé, $t \mapsto \operatorname{Exp}_m(tw) = \beta_w(t)$ a pour dérivée en $0$ le vecteur $w$ , et, par la règle de la chaîne, $d\operatorname{Exp}_m(0)w$ : donc $d\operatorname{Exp}_m(0) = \mathrm{id}$ .

(iii) Le théorème d'inversion locale fournit un ouvert $V \subset O_m$ contenant $0$ sur lequel $\operatorname{Exp}_m$ induit un $C^\infty$ -difféomorphisme sur un ouvert. Toutes les normes de $\mathbb R^2$ étant équivalentes (Normes en dimension finie), $V$ contient une boule $B_m(0, \varepsilon)$ , dont l'image est ouverte.

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Remarque

L'exponentielle envoie les droites issues de $0$ sur les géodésiques issues de $m$ , parcourues à vitesse constante : c'est une carte de la surface au voisinage de $m$ , adaptée à sa géométrie. Le nom vient des groupes de Lie, où les géodésiques issues de l'élément neutre, pour une métrique invariante convenable, sont les $t \mapsto e^{tA}$ (Groupes de Lie).

Remarque

Sur la sphère unité, avec la projection stéréographique depuis le pôle sud (Exemples de variétés, (ii)), les géodésiques issues du pôle nord sont les grands cercles, qui atteignent le pôle sud, absent de la carte, au temps $\pi$ : $O_m$ est la boule ouverte de rayon $\pi$ , et l'exponentielle y est injective. Le rayon maximal $\varepsilon$ dépend du point et de la surface.

Repose sur

Géodésiques d'une surface Régularité Cᵏ du flot

Sert à

Coordonnées polaires géodésiques et lemme de Gauss