Surfaces paramétrées régulières

(i) Notons $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ la matrice jacobienne de $\varphi$. La règle de la chaîne (Différentielle, (iv)) donne $\tilde x_{\tilde u} = a\,x_u + c\,x_v$ et $\tilde x_{\tilde v} = b\,x_u + d\,x_v$, évalués en $\varphi$ ; par bilinéarité et antisymétrie, $$\tilde x_{\tilde u} \wedge \tilde x_{\tilde v} = (ad - bc)\,x_u \wedge x_v.$$ Ce vecteur ne s'annule pas, et $\operatorname{Im} d\tilde x = dx\big(\operatorname{Im} d\varphi\big) = \operatorname{Im} dx$, puisque $d\varphi$ est inversible.

(ii) Soit $(u_0, v_0) \in U$ et $n_0 = x_u \wedge x_v$ en ce point. L'application $\Phi(u, v, w) = x(u, v) + w\,n_0$, de $U \times \mathbb R$ dans $\mathbb R^3$, est de classe $C^\infty$, et sa matrice jacobienne en $(u_0, v_0, 0)$ a pour colonnes $x_u$, $x_v$, $n_0$, de déterminant $\langle x_u \wedge x_v, n_0 \rangle = \|n_0\|^2 \neq 0$.

Par le théorème d'inversion locale, $\Phi$ induit un $C^\infty$-difféomorphisme d'un ouvert contenant $(u_0, v_0, 0)$ sur un ouvert de $\mathbb R^3$ ; cet ouvert contient un produit $V \times \,]{-\eta}, \eta[$, avec $V$ ouvert contenant $(u_0, v_0)$ et $\eta > 0$. Soit $O = \Phi\big(V \times \,]{-\eta}, \eta[\big)$, ouvert, et $\Psi : O \to V \times \,]{-\eta}, \eta[$ la réciproque.

Pour $y \in O$, $y \in x(V)$ équivaut à $\Psi(y) \in V \times \{0\}$ : si $y = x(u, v) = \Phi(u, v, 0)$ avec $(u, v) \in V$, alors $\Psi(y) = (u, v, 0)$, et la réciproque est claire. Ainsi $\Psi\big(O \cap x(V)\big) = \Psi(O) \cap \big(\mathbb R^2 \times \{0\}\big)$, et $x(V) \subset O$ est une sous-variété de dimension $2$, redressée par $\Psi$ en chacun de ses points.

L'application $x|_V$ est une bijection continue de $V$ sur $x(V)$, de réciproque $p \circ \Psi|_{x(V)}$, où $p(u, v, w) = (u, v)$ : c'est la restriction de l'application $C^\infty$ $p \circ \Psi$. Enfin, $T_{x(u, v)}x(V) = d\Psi(y)^{-1}\big(\mathbb R^2 \times \{0\}\big)$ (Tangent à une sous-variété), et $d\Psi(y)^{-1} = d\Phi(u, v, 0)$ envoie $\mathbb R^2 \times \{0\}$ sur $\operatorname{Im} dx(u, v)$.

(iii) Par le nœud Exemples de variétés, (i), si $\Phi$ redresse $S$ sur un ouvert $W$ contenant $a$, l'application $x(z) = \Phi^{-1}(z, 0)$, définie sur l'ouvert $\Omega = \{z \in \mathbb R^2 : (z, 0) \in \Phi(W)\}$, est la réciproque d'une carte : un homéomorphisme de $\Omega$ sur l'ouvert $W \cap S$ de $S$. Elle est de classe $C^\infty$, et $dx(z)$ est la restriction à $\mathbb R^2 \times \{0\}$ de l'isomorphisme $d(\Phi^{-1})(z, 0)$, donc injective.

(iv) $x_u = (1, 0, h_u)$, $x_v = (0, 1, h_v)$, et la formule du produit vectoriel donne $(-h_u, -h_v, 1)$, qui n'est jamais nul.