Courbure géodésique et formule en coordonnées polaires

(i) $N$ et $c'$ sont unitaires et orthogonaux, donc $(c', N \wedge c', N)$ est une base orthonormée (Repère de Frenet, (i)), et $N \wedge c'$ est orthogonal à $N$, donc tangent. Comme $\|c'\| = 1$, $c''$ est orthogonal à $c'$, d'où $$c'' = \langle c'', N \wedge c' \rangle\,N \wedge c' + \langle c'', N \rangle\,N,$$ et $\langle c'', N \rangle = I\!I(c')$ (Application de Gauss, (iv)). L'accélération est normale si et seulement si sa composante sur le vecteur tangent $N \wedge c'$ est nulle.

(ii) Par le lemme de Gauss, $(X_r, e_\theta)$ est une base orthonormée du plan tangent, et $N = X_r \wedge e_\theta$. Les coordonnées $(\langle c', X_r \rangle, \langle c', e_\theta \rangle)$ forment un vecteur unitaire de classe $C^1$ de $\mathbb R^2$ ; un angle initial $\psi_0$ tel que ce vecteur vaille $(\cos\psi_0, \sin\psi_0)$ en $0$ existe (Le nombre π, (iii)), et le relèvement (Courbure plane, (ii)) fournit $\psi$. Comme $c' = r'X_r + \theta'X_\theta$, on a $r' = \cos\psi$ et $\sqrt G\,\theta' = \sin\psi$.

Par le nœud Repère de Frenet, (i), $N \wedge X_r = e_\theta$ et $N \wedge e_\theta = -X_r$, donc $N \wedge c' = -\sin\psi\,X_r + \cos\psi\,e_\theta$. Notons $\dot X_r$ et $\dot e_\theta$ les dérivées de $s \mapsto X_r(r(s), \theta(s))$ et $s \mapsto e_\theta(r(s), \theta(s))$. Alors $$\begin{aligned} c'' &= \psi'(-\sin\psi\,X_r + \cos\psi\,e_\theta) \\ &\quad + \cos\psi\,\dot X_r + \sin\psi\,\dot e_\theta. \end{aligned}$$

En dérivant $\|X_r\|^2 = \|e_\theta\|^2 = 1$ et $\langle X_r, e_\theta \rangle = 0$, on obtient $\langle \dot X_r, X_r \rangle = \langle \dot e_\theta, e_\theta \rangle = 0$ et $\langle \dot e_\theta, X_r \rangle = -\langle \dot X_r, e_\theta \rangle$. En notant $A = \langle \dot X_r, e_\theta \rangle$, $$\begin{aligned} k_g &= \psi' + \cos^2\psi\,A + \sin^2\psi\,A \\ &= \psi' + A. \end{aligned}$$

Enfin $\dot X_r = r'X_{rr} + \theta'X_{r\theta}$, avec $X_{rr}$ normal (Coordonnées polaires géodésiques, (i)) et $X_{r\theta} = X_{\theta r}$, d'où $$A = \frac{\theta'\,\langle X_{\theta r}, X_\theta \rangle}{\sqrt G} = \frac{\theta'\,G_r}{2\sqrt G} = \theta'\,(\sqrt G)_r.$$