Symboles de Christoffel

(i) Les produits scalaires des dérivées secondes avec $x_u$ et $x_v$ ne dépendent que de la première forme : $$\begin{aligned} \langle x_{uu}, x_u \rangle &= \tfrac12 E_u, \\ \langle x_{uv}, x_u \rangle &= \tfrac12 E_v, \\ \langle x_{vv}, x_u \rangle &= F_v - \tfrac12 G_u, \end{aligned}$$ et $$\begin{aligned} \langle x_{uu}, x_v \rangle &= F_u - \tfrac12 E_v, \\ \langle x_{uv}, x_v \rangle &= \tfrac12 G_u, \\ \langle x_{vv}, x_v \rangle &= \tfrac12 G_v. \end{aligned}$$

(ii) Les symboles de Christoffel sont les solutions des systèmes $$\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \Gamma^1_{ij} \\ \Gamma^2_{ij} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \langle x_{ij}, x_u \rangle \\ \langle x_{ij}, x_v \rangle \end{pmatrix},$$ où $x_{11} = x_{uu}$, $x_{12} = x_{uv}$, $x_{22} = x_{vv}$. Ce sont des fonctions de classe $C^\infty$, qui ne dépendent que de $E$, $F$, $G$ et de leurs dérivées premières : deux surfaces isométriques ont les mêmes.

(iii) Coordonnées orthogonales. Si $F = 0$, $$\begin{aligned} \Gamma^1_{11} &= \frac{E_u}{2E}, & \Gamma^2_{11} &= -\frac{E_v}{2G}, & \Gamma^1_{12} &= \frac{E_v}{2E}, \\ \Gamma^2_{12} &= \frac{G_u}{2G}, & \Gamma^1_{22} &= -\frac{G_u}{2E}, & \Gamma^2_{22} &= \frac{G_v}{2G}. \end{aligned}$$