Plan, sphère, cylindre, graphes et selle

(i) Si $x$ prend ses valeurs dans un plan affine de vecteur normal unitaire $n$, alors $x_u$ et $x_v$ sont orthogonaux à $n$, et $N = \pm n$ ; continue, $\langle N, n \rangle$ est localement constant, donc $N$ aussi, et $W = -dN \circ dx^{-1} = 0$.

(ii) Comme $\langle x, x \rangle = R^2$, la dérivation donne $\langle x_u, x \rangle = \langle x_v, x \rangle = 0$ : $x$ est orthogonal à $P(u, v)$, comme $N$, donc $N = \pm\frac xR$. La fonction $\langle N, x \rangle$, continue et à valeurs dans $\{-R, R\}$, est localement constante. Alors $dN = \frac\epsilon R\,dx$, $W = -\frac\epsilon R\,\mathrm{id}$, $K = \frac1{R^2}$ et $H = -\frac\epsilon R$.

(iii) $x_u = (-R\sin u, R\cos u, 0)$, $x_v = (0, 0, 1)$ et $x_u \wedge x_v = (R\cos u, R\sin u, 0)$, de norme $R$. Alors $N_u = (-\sin u, \cos u, 0) = \frac1R x_u$ et $N_v = 0$ : $W x_u = -\frac1R x_u$ et $W x_v = 0$.

(iv) Par le nœud Surfaces paramétrées, (iv), $x_u \wedge x_v = (-h_u, -h_v, 1)$, de norme $\sqrt\Delta$, et $EG - F^2 = \Delta$ (Première forme, (i)). Comme $x_{uu} = (0, 0, h_{uu})$, $x_{uv} = (0, 0, h_{uv})$ et $x_{vv} = (0, 0, h_{vv})$, on a $e = \frac{h_{uu}}{\sqrt\Delta}$, $f = \frac{h_{uv}}{\sqrt\Delta}$, $g = \frac{h_{vv}}{\sqrt\Delta}$, et le nœud Courbures, (ii), donne $K$. Si $dh(0, 0) = 0$, alors $\Delta = 1$, $x_u = (1, 0, 0)$, $x_v = (0, 1, 0)$, et la matrice de $W$ est $\begin{pmatrix} e & f \\ f & g \end{pmatrix}$ (Application de Gauss, (ii)).

(v) Pour $h = \frac12(u^2 - v^2)$, la hessienne en $0$ est ${\operatorname{diag}}(1, -1)$. Pour $h = uv$, c'est $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, de valeurs propres $1$ et $-1$, de vecteurs propres $(1, 1)$ et $(1, -1)$. On applique (iv).