Théorème fondamental des courbes de l'espace

(i) Unicité. Pour une courbe qui convient, le repère de Frenet $Y = (T, N, B)$, vu comme fonction à valeurs dans $\mathbb R^9$, est solution du système linéaire $$\begin{aligned} T' &= \kappa N, \\ N' &= -\kappa T + \tau B, \\ B' &= -\tau N \end{aligned}$$ (Repère de Frenet, (ii)), à coefficients continus, avec la donnée $Y(\sigma_0) = (T_0, N_0, B_0)$. Ce système a une unique solution sur $I$ (Systèmes linéaires, (i)) ; $T$ est donc déterminé, et $\delta(\sigma) = p_0 + \int_{\sigma_0}^\sigma T$ aussi.

Existence. Soit $(T, N, B)$ la solution du système sur $I$ de donnée initiale $(T_0, N_0, B_0)$. Écrivons-le $e_i' = \sum_j k_{ij}e_j$, où la matrice $$K = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{pmatrix}$$ est antisymétrique. La matrice de Gram $P = (\langle e_i, e_j \rangle)$ vérifie alors $$P' = KP + P\,{}^tK = KP - PK,$$ système linéaire en $P \in \mathbb R^9$ dont la fonction constante ${I_3}$ est aussi solution, avec la même valeur en $\sigma_0$. Par unicité, $P = I_3$ : la base $(T, N, B)$ reste orthonormée.

Son déterminant, continu, à valeurs dans $\{-1, 1\}$ et égal à $1$ en $\sigma_0$, vaut toujours $1$ (Valeurs intermédiaires). Comme $T \wedge N$ est unitaire, orthogonal à $T$ et à $N$, $B = \pm T \wedge N$, et $\langle T \wedge N, B \rangle = \det(T, N, B) = 1$ donne $B = T \wedge N$.

Posons $\delta(\sigma) = p_0 + \int_{\sigma_0}^\sigma T$. Alors $\delta' = T$ est unitaire et de classe $C^1$, $\delta'' = \kappa N$ ne s'annule pas, et $\|\delta''\| = \kappa$ : la normale principale est $N$, la binormale $T \wedge N = B$. Comme $N' = -\kappa T + \tau B$ est continue, $N$ est de classe $C^1$ et $\delta''' = \kappa'N + \kappa N'$ est continue : $\delta$ est de classe $C^3$. Enfin la torsion est $\langle N', B \rangle = \tau$.

(ii) Soient $\delta$ et $\tilde\delta$ deux telles courbes, de repères de Frenet $(T, N, B)$ et $(\tilde T, \tilde N, \tilde B)$. Soit $A$ la matrice qui envoie $(T, N, B)(\sigma_0)$ sur $(\tilde T, \tilde N, \tilde B)(\sigma_0)$ : produit de la matrice des colonnes $\tilde T, \tilde N, \tilde B$ par la transposée de celle des colonnes $T, N, B$, elle est orthogonale de déterminant $1$. Posons $c = \tilde\delta(\sigma_0) - A\delta(\sigma_0)$.

La courbe $A\delta + c$ est paramétrée par la longueur, et $(A\delta)'' = A\delta''$ : sa courbure est $\kappa$, sa normale principale $AN$, sa binormale $AT \wedge AN = AB$, et sa torsion $\langle AN', AB \rangle = \langle N', B \rangle = \tau$. Elle a en $\sigma_0$ le point et le repère de $\tilde\delta$ ; par l'unicité de (i), $A\delta + c = \tilde\delta$.

Une isométrie indirecte, $x \mapsto Ax + c$ avec $\det A = -1$, conserverait la courbure mais changerait le signe de la torsion, puisque $A(u \wedge v) = -Au \wedge Av$ : c'est pourquoi l'énoncé porte sur les déplacements, et l'unicité s'entend parmi eux.

Si deux déplacements $(A, c)$ et $(A', c')$ conviennent, $A\delta + c = A'\delta + c'$. En dérivant une fois puis deux fois, $AT = A'T$ et $AN = A'N$, puis $AB = AT \wedge AN = A'B$ : les matrices $A$ et $A'$ coïncident sur une base, donc sont égales, et $c = c'$.

(iii) Soit $\gamma$ l'hélice de paramètres $a$ et $b$ du nœud Hélice circulaire, (iv), et $\eta(\sigma) = \gamma\big(\frac{\sigma - \sigma_0}{w}\big)$, avec $w = \sqrt{a^2 + b^2}$ : $\eta$ est paramétrée par la longueur et a pour courbure $\kappa_0$ et pour torsion $\tau_0$ (même nœud, (i) et (ii)). Par (ii), toute courbe de mêmes invariants sur $I$ s'en déduit par un déplacement. Si $\tau_0 = 0$, $b = 0$ et $\gamma$ est un cercle.