Principe du maximum et unicité pour le problème de Dirichlet

(i) Soit $m = \max_\Omega u$ et $A = \{x \in \Omega : u(x) = m\}$, non vide par hypothèse et fermé dans $\Omega$ par continuité. Soit $x \in A$ et $r > 0$ tel que $\bar B(x, r) \subset \Omega$. Par la propriété de la moyenne (Propriété de la moyenne, (ii)), la fonction continue et positive $m - u$ a une intégrale nulle sur $B(x, r)$.

Si elle était strictement positive en un point $z$ de $B(x, r)$, elle serait supérieure à une constante $c > 0$ sur une boule $B(z, s) \subset B(x, r)$, et son intégrale serait au moins $c\,\lambda(B(z, s)) > 0$. Donc $u = m$ sur $B(x, r)$ : $A$ est ouvert. L'ouvert $\Omega$ étant connexe, $A = \Omega$.

(ii) Une perturbation. Soit $\varepsilon > 0$ et $v(x) = u(x) + \varepsilon|x|^2$, continue sur le compact $\bar\Omega$, fermé et borné (L'espace ℝⁿ, (iii)). Elle y atteint son maximum en un point $x^*$ (Compacts de ℝ, (iii)). Sur $\Omega$, $\Delta v = \Delta u + 2n\varepsilon > 0$.

Le maximum est au bord. Supposons $x^* \in \Omega$. Pour chaque $i$, la fonction $g(t) = v(x^* + te_i)$, définie et de classe $C^2$ près de $0$, a un maximum local en $0$, donc $g'(0) = 0$ (Extremum local). Si l'on avait $g''(0) > 0$, le développement à l'ordre $1$ de $g'$ (DL à l'ordre 1) donnerait $g' > 0$ sur un intervalle $]0, h]$, et $g$ y serait strictement croissante (Signe de la dérivée, (iii)), contre la maximalité. Donc $\partial_i^2 v(x^*) = g''(0) \leqslant 0$ pour tout $i$, et $\Delta v(x^*) \leqslant 0$ : contradiction.

Ainsi $x^* \in \bar\Omega \setminus \Omega = \partial\Omega$, qui n'est pas vide. Avec $D = \max_{\bar\Omega}|x|^2$, $$\max_{\bar\Omega} u \leqslant \max_{\bar\Omega} v = \max_{\partial\Omega} v \leqslant \max_{\partial\Omega} u + \varepsilon D,$$ et l'on fait tendre $\varepsilon$ vers $0$. L'inégalité inverse est évidente.

(iii) Si $u_1$ et $u_2$ sont deux solutions, $\pm(u_1 - u_2)$ sont harmoniques sur $\Omega$, continues sur $\bar\Omega$ et nulles sur $\partial\Omega$ ; par (ii), leurs maxima sont nuls, et $u_1 = u_2$. L'encadrement est (ii) appliqué à $u$ et à $-u$.