Noyau de Poisson et problème de Dirichlet sur le disque

(i) Le noyau. Pour $|w| < 1$, $\frac{1 + w}{1 - w} = \frac{(1 + w)(1 - \bar w)}{|1 - w|^2}$ a pour partie réelle $\frac{1 - |w|^2}{|1 - w|^2}$, $w - \bar w$ étant imaginaire pur. Pour $w = re^{it}$, $|1 - w|^2 = 1 - 2r\cos t + r^2$, et $|1 - w| \geqslant 1 - r > 0$ : $P(r, t) = \operatorname{Re}\frac{1 + w}{1 - w} > 0$.

L'intégrale. La série géométrique donne $\frac{1 + w}{1 - w} = 1 + 2\sum_{n \geqslant 1} w^n$, d'où $P(r, t) = 1 + 2\sum_{n \geqslant 1} r^n\cos(nt)$, puisque $(e^{it})^n = e^{int}$ (Exponentielle, (ii)). La série converge uniformément en $t$ par le critère de Weierstrass, et s'intègre terme à terme (Convergence uniforme, (ii) et (iii)). Comme $\sin(\pm n\pi) = \operatorname{Im}\big((-1)^{\pm n}\big) = 0$ (Le nombre π, (ii)), $\int_{-\pi}^\pi \cos(nt)\,dt = 0$ pour $n \geqslant 1$, et l'intégrale vaut $2\pi$.

Concentration. La fonction continue $t \mapsto |1 - e^{it}|$ ne s'annule pas sur le compact $\{\delta \leqslant |t| \leqslant \pi\}$, qui ne contient aucun multiple de $2\pi$ (Le nombre π, (ii)) ; elle y atteint un minimum $c_\delta > 0$ (Compacts de ℝ, (iii)). Pour $r \geqslant 1 - \frac{c_\delta}2$, $|1 - re^{it}| \geqslant |1 - e^{it}| - (1 - r) \geqslant \frac{c_\delta}2$, et $P(r, t) \leqslant \frac{4(1 - r^2)}{c_\delta^2}$, qui tend vers $0$.

(ii) Bonne définition. Tout point non nul de $\bar{\mathbb D}$ s'écrit $re^{i\theta}$, avec $r = |z|$ et $\theta$ unique modulo $2\pi$ (Le nombre π, (iii)) ; les deux formules sont $2\pi$-périodiques en $\theta$. En $0$, $P(0, \cdot) = 1$ et $u(0) = \frac1{2\pi}\int f$ ne dépend pas de $\theta$.

La fonction $F$. Pour $|z| \leqslant \rho < 1$, $\frac{e^{it} + z}{e^{it} - z} = 1 + 2\sum_{n \geqslant 1} z^ne^{-int}$, uniformément en $t$. Multipliant par $f(t)$ et intégrant terme à terme, on obtient $$\begin{aligned} \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^{it} + z}{e^{it} - z}\,f(t)\,dt &= a_0 + 2\sum_{n \geqslant 1} a_n z^n \\ &= F(z). \end{aligned}$$ Comme $|a_n| \leqslant \sup|f|$ (Intégrale curviligne, (i)), la série entière a un rayon au moins $1$, et $F$ est holomorphe sur $\mathbb D$ (Dérivation terme à terme).

Partie réelle. Pour $z = re^{i\theta}$, $\frac{e^{it} + z}{e^{it} - z} = \frac{1 + w}{1 - w}$ avec $w = re^{i(\theta - t)}$, de partie réelle $P(r, \theta - t)$ par (i). La fonction $f$ étant réelle, et l'intégrale d'une fonction complexe étant définie par ses parties réelle et imaginaire, $\operatorname{Re} F(re^{i\theta}) = u(re^{i\theta})$.

(iii) Harmonicité. Par (ii) et le nœud Harmoniques et holomorphes, (i), $u$ est harmonique, donc continue, sur $\mathbb D$.

Une translation. Si $g$ est continue et $2\pi$-périodique, $c \mapsto \int_{c - \pi}^{c + \pi} g$ a pour dérivée $g(c + \pi) - g(c - \pi) = 0$ (Théorème fondamental) : elle est constante. Le changement de variable $s = \theta - t$ et la périodicité de $s \mapsto P(r, s)f(\theta - s)$ donnent alors, avec (i), $$\begin{aligned} &u(re^{i\theta}) - f(\theta) \\ &\ = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} P(r, s)\big(f(\theta - s) - f(\theta)\big)\,ds. \end{aligned}$$

Convergence uniforme au bord. Soit $\varepsilon > 0$ et $M = \sup|f|$. La fonction $f$, continue sur le compact $[-3\pi, 3\pi]$, y est uniformément continue (Heine), donc sur $\mathbb R$ par périodicité : il existe $\delta \in \,]0, \pi]$ tel que $|f(a) - f(b)| < \varepsilon$ si $|a - b| < \delta$. Découpant l'intégrale en $|s| < \delta$ et $\delta \leqslant |s| \leqslant \pi$, et utilisant $P > 0$ et (i), $$|u(re^{i\theta}) - f(\theta)| \leqslant \varepsilon + 2M\sup_{\delta \leqslant |s| \leqslant \pi} P(r, s),$$ qui est $< 2\varepsilon$ pour tout $\theta$ dès que $r \geqslant r_0$, pour un $r_0 < 1$.

Continuité en $e^{i\theta_0}$. Soit $z = re^{i\theta} \in \bar{\mathbb D}$, avec $\theta$ choisi dans $]\theta_0 - \pi, \theta_0 + \pi]$, et $d = |z - e^{i\theta_0}|$. On a $1 - r \leqslant d$ et $|e^{i\theta} - e^{i\theta_0}| \leqslant (1 - r) + d \leqslant 2d$. Avec la constante $c_\delta$ de (i), si $2d < c_\delta$, alors $|\theta - \theta_0| < \delta$, puisque $|e^{i\theta} - e^{i\theta_0}| = |1 - e^{i(\theta - \theta_0)}|$. Si de plus $d \leqslant 1 - r_0$, alors $r \geqslant r_0$, et $$\begin{aligned} |u(z) - f(\theta_0)| &\leqslant |u(re^{i\theta}) - f(\theta)| \\ &\quad + |f(\theta) - f(\theta_0)| < 3\varepsilon. \end{aligned}$$

Unicité. C'est le principe du maximum (Principe du maximum, (iii)) sur l'ouvert borné $\mathbb D$.