Le noyau de la chaleur

(i) L'exponentielle réelle est de classe $C^\infty$, strictement positive, et $\exp' = \exp$ (Exponentielle, (i) et (ii)) ; $t \mapsto t^{-1/2}$ est de classe $C^\infty$ sur $]0, +\infty[$ (Puissances réelles, (iii)). Par composition et produit, $G$ est de classe $C^\infty$ (Classe Cᵏ). On calcule $$\begin{aligned} \partial_x G &= -\frac x{2t}\,G, \\ \partial_x^2 G &= \Big(\frac{x^2}{4t^2} - \frac1{2t}\Big)G = \partial_t G. \end{aligned}$$

(ii) Le changement de variable $x = 2\sqrt t\,v$ (Changement de variables, (ii)), de jacobien $2\sqrt t$, et l'intégrale de Gauss (Intégrale de Gauss, (ii)) donnent $\int \exp(-\frac{x^2}{4t})\,dx = 2\sqrt t\int e^{-v^2}\,dv = 2\sqrt{\pi t}$.

(iii) Le même changement de variable donne $$\begin{aligned} \int_{|x| \geqslant \delta} G(t, x)\,dx &= \frac1{\sqrt\pi}\,J\Big(\frac\delta{2\sqrt t}\Big), \\ J(R) &= \int_{|v| \geqslant R} e^{-v^2}\,dv. \end{aligned}$$ La fonction $J$ est décroissante, et $J(k) \to 0$ quand l'entier $k$ tend vers l'infini, par convergence dominée, avec le majorant intégrable $e^{-v^2}$. Donc J(R) \to 0 quand $R \to +\infty$.

(iv) Par récurrence sur $j + k$, $\partial_t^j\partial_x^k G = Q_{j,k}(\frac1t, x)\,G$, où $Q_{j,k}$ est un polynôme en deux variables de degré au plus $2j + k$ en $x$ : c'est vrai pour $Q_{0,0} = 1$, et $$\begin{aligned} \partial_x(QG) &= \Big(\partial_x Q - \frac x{2t}Q\Big)G, \\ \partial_t(QG) &= \Big(\partial_t Q - \frac1{2t}Q + \frac{x^2}{4t^2}Q\Big)G, \end{aligned}$$ où $\partial_t Q$, calculé par la règle de la chaîne, ne change pas le degré en $x$. Pour $t_0 \leqslant t \leqslant t_1$, $\frac1t \leqslant \frac1{t_0}$, d'où $|Q_{j,k}(\frac1t, x)| \leqslant C'(1 + |x|)^{2j+k}$ ; $\frac1{\sqrt{4\pi t}} \leqslant \frac1{\sqrt{4\pi t_0}}$, et $\exp(-\frac{x^2}{4t}) \leqslant \exp(-\frac{x^2}{4t_1})$, l'exponentielle étant croissante.