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Proposition 4Distributions et EDP

Distributions de dérivée nulle et primitives en dimension 1

Soit II un intervalle ouvert de ℝ{\mathbb R}. On fixe χ0∈𝒟(I)\chi_0 \in {\mathcal D}(I) d'intégrale 11, par exemple une translatée de ρε\rho_\varepsilon pour ε\varepsilon assez petit (Fonctions test, (ii)).

Énoncé

(i) Toute φ∈𝒟(I)\varphi \in \mathcal D(I) s'écrit de façon unique φ=(∫φ)χ0+ψ′\varphi = \big(\int\varphi\big)\chi_0 + \psi', avec ψ∈𝒟(I)\psi \in \mathcal D(I).

(ii) Si T∈𝒟′(I)T \in {\mathcal D'}(I) vérifie T′=0T' = 0, alors TT est une fonction constante : T=cT = c, avec c=⟨T,χ0⟩c = \langle T, \chi_0\rangle.

(iii) Toute S∈𝒟′(I)S \in \mathcal D'(I) a une primitive, c'est-à-dire une distribution UU telle que U′=SU' = S, unique à une constante près. En particulier, les solutions de T′=δT' = \delta dans 𝒟′(ℝ)\mathcal D'(\mathbb R) sont les H+cH + c, c∈ℝc \in \mathbb R.

Démonstration

(i) Existence. Soit [α,β]⊂I[\alpha, \beta] \subset I un segment qui contient supp⁡φ\operatorname{supp}\varphi et supp⁡χ0\operatorname{supp}\chi_0. La fonction g=φ−(∫φ)χ0g = \varphi - \big(\int\varphi\big)\chi_0 est de classe C∞C^\infty, nulle hors de [α,β][\alpha, \beta], et d'intégrale nulle. Posons ψ(x)=∫αxg\psi(x) = \int_\alpha^x g pour x∈Ix \in I.

Par le théorème fondamental (Théorème fondamental), ψ′=g\psi' = g, si bien que ψ\psi est de classe C∞C^\infty. Elle est nulle pour x⩽αx \leqslant \alpha, et, pour x⩾βx \geqslant \beta, ψ(x)=∫αβg=∫g=0\psi(x) = \int_\alpha^\beta g = \int g = 0 : son support est dans [α,β][\alpha, \beta].

Unicité. Si (∫φ)χ0+ψ′=c χ0+ψ1′\big(\int\varphi\big)\chi_0 + \psi' = c\,\chi_0 + \psi_1', l'intégration donne ∫φ=c\int\varphi = c, puisque ∫ψ′=∫ψ1′=0\int\psi' = \int\psi_1' = 0 (Intégrales à paramètre, (ii)). Alors ψ−ψ1\psi - \psi_1 est constante (Signe de la dérivée, (ii)), et nulle hors d'un compact : elle est nulle.

(ii) Avec l'écriture de (i), ⟨T,φ⟩=(∫φ)⟨T,χ0⟩+⟨T,ψ′⟩=c∫φ−⟨T′,ψ⟩=c∫φ.\begin{aligned} \langle T, \varphi\rangle &= \Big(\int\varphi\Big)\langle T, \chi_0\rangle + \langle T, \psi'\rangle \\ &= c\int\varphi - \langle T', \psi\rangle = c\int\varphi. \end{aligned}

(iii) Définition. Notons ψφ\psi_\varphi la fonction ψ\psi de (i). Par unicité, φ↦ψφ\varphi \mapsto \psi_\varphi est linéaire. Posons ⟨U,φ⟩=−⟨S,ψφ⟩\langle U, \varphi\rangle = -\langle S, \psi_\varphi\rangle.

Continuité. Si φk→φ\varphi_k \to \varphi dans 𝒟(I)\mathcal D(I), les supports étant dans un compact KK, choisissons [α,β][\alpha, \beta] contenant KK et supp⁡χ0\operatorname{supp}\chi_0. Les ψφk\psi_{\varphi_k} ont leur support dans [α,β][\alpha, \beta] ; leurs dérivées φk−(∫φk)χ0\varphi_k - \big(\int\varphi_k\big)\chi_0 convergent vers celle de ψφ\psi_\varphi pour chaque semi-norme pmp_m ; et ∣ψφk−ψφ∣⩽(β−α)sup⁡∣ψφk′−ψφ′∣|\psi_{\varphi_k} - \psi_\varphi| \leqslant (\beta - \alpha)\sup|\psi_{\varphi_k}' - \psi_\varphi'|. Donc ψφk→ψφ\psi_{\varphi_k} \to \psi_\varphi dans 𝒟(I)\mathcal D(I), et UU est une distribution.

Primitive. Pour φ∈𝒟(I)\varphi \in \mathcal D(I), φ′\varphi' est d'intégrale nulle, et φ′=0⋅χ0+φ′\varphi' = 0 \cdot \chi_0 + \varphi' : ψφ′=φ\psi_{\varphi'} = \varphi. Ainsi ⟨U′,φ⟩=−⟨U,φ′⟩=⟨S,φ⟩\langle U', \varphi\rangle = -\langle U, \varphi'\rangle = \langle S, \varphi\rangle. Deux primitives diffèrent d'une distribution de dérivée nulle, constante par (ii). Enfin H′=δH' = \delta (Dérivation, (iv)).

□
Remarque

Le point (ii) est l'analogue, pour les distributions, du fait qu'une fonction dérivable de dérivée nulle sur un intervalle est constante (Signe de la dérivée, (ii)). Il n'est pas évident : une distribution de dérivée nulle n'est pas, a priori, une fonction, et c'est la décomposition (i) qui le montre. L'hypothèse que II est un intervalle est essentielle : sur ℝ∖{0}\mathbb R \setminus \{0\}, la fonction HH a une dérivée nulle sans être constante.

Remarque

Les solutions de T′=δT' = \delta sont des solutions élémentaires de l'opérateur ddx\frac{d}{dx} ; il y en a une infinité, H+cH + c, et la plus naturelle dépend du problème posé : HH est nulle dans le passé, H−1H - 1 dans le futur. Le nœud Solution élémentaire du laplacien fait de même pour le laplacien de ℝ3\mathbb R^3.

Repose sur

Dérivée d'une distribution

Sert à

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