Théorème de Plancherel

Soit $\tilde f(x) = f(-x)$ et $g = f * \tilde f$, c'est-à-dire $g(x) = \int f(x + y)f(y)\,dy$. Par Cauchy-Schwarz (Espaces L¹ et L², (i)), $g$ est bornée par $\|f\|_2^2$ et continue, puisque $|g(x) - g(x')| \leqslant \|\tau_{-x}f - \tau_{-x'}f\|_2\|f\|_2$ (Densité) ; et $g(0) = \|f\|_2^2$.

Par Transformée de Fourier, (iv), $\hat g = \hat f\,\hat{\tilde f} = |\hat f|^2$, puisque $\hat{\tilde f} = \overline{\hat f}$, $f$ étant réelle.

Le calcul de la preuve de l'inversion, qui n'utilisait que $f \in L^1$, donne $$\frac1{2\pi}\int |\hat f(\xi)|^2\,e^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\,d\xi = g * G_\varepsilon(0).$$

Prenons $\varepsilon = \frac1k$. Quand $k \to \infty$, le second membre tend vers $g(0) = \|f\|_2^2$ (Inversion, (i)), et le premier croît vers $\frac1{2\pi}\int|\hat f|^2$ par convergence monotone.

Le prolongement découle de la densité de $L^1 \cap L^2$ dans $L^2$ (Densité). Pour $f \in L^2$, les tronquées $f\mathbf 1_{[-n, n]}$ sont intégrables par Cauchy-Schwarz et convergent vers $f$ dans $L^2$ par convergence dominée ; par l'égalité établie, leurs transformées $h_n$ divisées par $\sqrt{2\pi}$ forment une suite de Cauchy de fonctions complexes de carré intégrable.

Une telle suite $(h_n)$ est de Cauchy si et seulement si $(\operatorname{Re} h_n)$ et $(\operatorname{Im} h_n)$ le sont dans $L^2$ réel ; la forme sans choix du théorème de Riesz-Fischer (Espaces L¹ et L², (iv)), appliquée à chacune, fournit une fonction limite. Ces suites sont des fonctions et non des classes, ce qui écarte le choix de représentants que demande le point (ii) de ce nœud : le prolongement n'ajoute aucun choix.

Notons $Pf$ la classe limite. Elle ne dépend pas de la suite approximante : si $(f_k)$ est une suite de fonctions de $L^1 \cap L^2$ qui converge vers $f$ dans $L^2$, la suite alternée $f\mathbf 1_{[-1, 1]}, f_1, f\mathbf 1_{[-2, 2]}, f_2, \dots$ converge encore vers $f$, ses transformées divisées par $\sqrt{2\pi}$ forment, par l'égalité établie, une suite de Cauchy, et ses deux suites extraites ont donc la même limite. En particulier, $Pf$ est la classe de $\hat f/\sqrt{2\pi}$ si $f \in L^1 \cap L^2$.

La troncature et la transformée étant linéaires, $P$ l'est aussi, par passage à la limite. Enfin, par continuité de la norme, $$\begin{aligned} \|Pf\|_2 &= \lim_n \frac{\|h_n\|_2}{\sqrt{2\pi}} \\ &= \lim_n \|f\mathbf 1_{[-n, n]}\|_2 = \|f\|_2 : \end{aligned}$$ $P$ est une isométrie.