Fonctions caractéristiques des variables aléatoires

(i) Comme au nœud Transformée de Fourier, (ii), on a $|\varphi_X(t) - \varphi_X(t')| \leqslant E\big[\min(2|X|h, 2)\big]$ pour $|t - t'| \leqslant h$ ; ce majorant croît avec $h$ et tend vers $0$ le long de $h = \frac1m$ par convergence dominée pour une suite (Convergence dominée, (i)), de sorte que $\varphi_X$ est uniformément continue, sans intégrale à paramètre.

(ii) $e^{it(X+Y)} = e^{itX}e^{itY}$ ; en séparant parties réelles et imaginaires, l'espérance d'un produit de fonctions bornées de variables indépendantes est le produit des espérances (Espérance, variance, (iv)).

(iii) $\varphi_X(t) = \frac1{\sqrt{2\pi}}\hat\gamma(-t) = e^{-t^2/2}$ (Transformée de Fourier, (iii)).

(iv) Soit $N$ de loi $\mathcal N(0, 1)$, indépendante de $X$, sur un espace produit, et $\sigma > 0$. La variable $X + \sigma N$ a pour densité $h_\sigma(x) = E\big[G_\sigma(x - X)\big]$, par Fubini ; en écrivant $G_\sigma(u) = \frac1{2\pi}\int e^{iut}e^{-\sigma^2t^2/2}\,dt$ par l'inversion (Inversion), puis Fubini, $$h_\sigma(x) = \frac1{2\pi}\int \varphi_X(-t)\,e^{ixt}\,e^{-\sigma^2t^2/2}\,dt,$$ qui ne dépend que de $\varphi_X$. Donc $X + \sigma N$ et $Y + \sigma N$ ont même loi pour tout $\sigma$.

En un point $x$ tel que $P(X = x) = 0$, $\mathbf 1_{X + \sigma N \leqslant x} \to \mathbf 1_{X \leqslant x}$ presque sûrement quand $\sigma = \frac1k$ et $k \to \infty$, d'où $F_{X+N/k}(x) \to F_X(x)$ par convergence dominée.

Les fonctions de répartition de $X$ et $Y$ coïncident donc en dehors de l'ensemble $S$ des points où l'une a un saut. Cet ensemble est au plus dénombrable, chacune ayant au plus $n$ sauts de taille supérieure à $\frac1n$ ; il est donc de mesure de Lebesgue nulle (Mesure de Lebesgue, (iv)), et ne contient aucun intervalle $]x, x + \eta[$, $\eta > 0$.

Pour $x$ réel, la croissance et la continuité à droite donnent $F_X(x) = \inf\{F_X(y) : y > x\}$, et cette borne inférieure ne change pas si l'on se restreint aux $y \notin S$, puisque tout $y > x$ majore un point de $]x, y[$ hors de $S$. Il en va de même pour $F_Y$, et les deux bornes inférieures portent sur les mêmes valeurs : $F_X = F_Y$ partout, et les lois sont égales (Variables aléatoires).