Théorème de continuité de Lévy, forme complète

L'erreur la plus répandue est de croire que le théorème de Helly suffit, et que toute la suite converge dès qu'une suite extraite converge. Il n'en est rien, comme le montre $X_n = (-1)^n$. C'est l'identification $\varphi = \varphi_X$, puis l'unicité de la loi de fonction caractéristique donnée (Fonctions caractéristiques, (iv)), sur laquelle repose le nœud Continuité de Lévy, qui transfèrent la convergence d'une suite extraite à la suite entière : toutes les suites extraites convergentes ont la même limite.

La forme complète produit des lois que l'on ne connaît pas d'avance. Soient $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots$ des variables indépendantes valant $1$ et $-1$ avec probabilité $\frac12$ (Suites indépendantes, (iii)), et $$T_n = \sum_{k=1}^n \frac{\varepsilon_k}{k}.$$

Chaque $\varepsilon_k/k$ a pour fonction caractéristique $\frac12\big(e^{it/k} + e^{-it/k}\big) = \cos\frac tk$ ; et $T_{n-1}$, mesurable pour la tribu engendrée par $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_{n-1}$, est indépendante de $\varepsilon_n/n$, mesurable pour $\sigma(\varepsilon_n)$, par regroupement (Indépendance, (ii)). Par Fonctions caractéristiques, (ii), et récurrence, $$\varphi_{T_n}(t) = \prod_{k=1}^{n} \cos\frac tk.$$

Pour $y$ réel, $1 - \cos y = \int_0^y \sin s\,ds \leqslant \frac{y^2}2$, par la majoration $|\sin s| \leqslant |s|$ de Troncature ; en particulier $\cos y \geqslant \frac78 > 0$ pour $|y| \leqslant \frac12$.

Le produit converge donc pour tout $t$ : à partir du rang $k \geqslant 2|t|$, les facteurs sont dans $]0, 1]$, et le produit des facteurs suivants décroît, minoré par $0$ (Limite monotone). Sa limite $\varphi$ est continue en $0$ : pour $|t| \leqslant 1$, on a $1 \geqslant \cos\frac tk \geqslant 1 - \frac{t^2}{2k^2} \geqslant 0$.

L'inégalité $\prod_{k \leqslant n}(1 - a_k) \geqslant 1 - \sum_{k \leqslant n} a_k$, pour des $a_k \in [0, 1]$, se vérifie par récurrence : si elle vaut au rang $n$, on la multiplie par $1 - a_{n+1} \geqslant 0$, et $\big(1 - \sum_{k \leqslant n} a_k\big)(1 - a_{n+1}) \geqslant 1 - \sum_{k \leqslant n+1} a_k$, puisque le produit $a_{n+1}\sum_{k \leqslant n} a_k$ est positif. Elle donne $$1 \geqslant \varphi(t) \geqslant 1 - \frac{t^2}2\sum_{k \geqslant 1}\frac1{k^2} \geqslant 1 - t^2,$$ la somme étant au plus $2$, puisque $\frac1{k^2} \leqslant \frac1{k - 1} - \frac1k$ pour $k \geqslant 2$ et que ces différences ont des sommes partielles $1 - \frac1n \leqslant 1$.

Le théorème affirme alors que $\varphi$ est la fonction caractéristique d'une loi, limite en loi des $T_n$, sans en donner d'expression. Numériquement, $\varphi(1) \approx 0{,}3885$ et $\varphi(\frac12) \approx 0{,}8093$.

On ne peut pas remplacer la continuité en $0$ par l'existence de la limite simple : dans l'exemple des lois $\mathcal N(0, n)$ (Continuité de Lévy), la limite existe partout, mais elle est discontinue en $0$, et aucune loi limite n'existe. La continuité en $0$ est exactement ce qui empêche la masse de s'échapper, par l'inégalité de troncature.