Théorème de sélection de Helly

(i) Une extraction déterminée. Pour une suite réelle bornée $v$, notons $\beta(v) : \mathbb N \to \mathbb N$ l'application strictement croissante construite dans la preuve du théorème de Bolzano-Weierstrass (Bolzano-Weierstrass), par le lemme des pics.

Elle est entièrement déterminée par $v$ : si les pics sont en nombre infini, $\beta(v)(m)$ est le $(m + 1)$-ième pic dans l'ordre croissant ; sinon, $\beta(v)(0)$ est le plus petit entier strictement supérieur à tous les pics, et $\beta(v)(m + 1)$ le plus petit indice $p > \beta(v)(m)$ tel que $v_p > v_{\beta(v)(m)}$. La suite $\big(v_{\beta(v)(m)}\big)_m$ est monotone et bornée, donc converge.

Extraction diagonale. On définit par récurrence des applications strictement croissantes $\psi_j : \mathbb N \to \mathbb N$ : $$\psi_0 = \beta\big((F_n(q_0))_n\big)$$ et $$\begin{aligned} \psi_{j+1} &= \psi_j \circ \beta_{j+1}, \\ \beta_{j+1} &= \beta\big((F_{\psi_j(m)}(q_{j+1}))_m\big). \end{aligned}$$ Par construction, la suite $\big(F_{\psi_j(m)}(q_j)\big)_m$ converge, vers un réel $H(q_j) \in [0, 1]$.

Posons $n_k = \psi_k(k)$. Comme $\beta_{k+1}(m) \geqslant m$ (Suites extraites), $$\begin{aligned} n_{k+1} &= \psi_k\big(\beta_{k+1}(k + 1)\big) \\ &\geqslant \psi_k(k + 1) > \psi_k(k) = n_k. \end{aligned}$$

Fixons $j$. Pour $k \geqslant j$, $\psi_k = \psi_j \circ \beta_{j+1} \circ \cdots \circ \beta_k$, donc $n_k = \psi_j(m_k)$ pour un entier $m_k$ ; comme $n_k$ et $\psi_j$ sont strictement croissants, $m_k$ l'est aussi. La suite $\big(F_{n_k}(q_j)\big)_{k \geqslant j}$ est donc extraite de $\big(F_{\psi_j(m)}(q_j)\big)_m$, et converge vers $H(q_j)$ (Suites extraites, (i)). Ainsi $F_{n_k}(q) \to H(q)$ pour tout rationnel $q$.

La fonction $G$. Comme limite de fonctions croissantes, $H$ est croissante sur $\mathbb Q$. Posons $$G(x) = \inf\{H(q) : q \in \mathbb Q,\ q > x\},$$ borne inférieure d'une partie non vide de $[0, 1]$. La fonction $G$ est croissante, l'ensemble des rationnels $q > x$ diminuant quand $x$ augmente.

Elle est continue à droite : pour $\varepsilon > 0$, il existe un rationnel $q > x$ tel que $H(q) < G(x) + \varepsilon$, et pour $x \leqslant y < q$, on a $G(x) \leqslant G(y) \leqslant H(q) < G(x) + \varepsilon$.

Convergence. Soit $x$ un point de continuité de $G$. Pour tout rationnel $q > x$, $F_{n_k}(x) \leqslant F_{n_k}(q) \to H(q)$ ; donc $\limsup_k F_{n_k}(x) \leqslant H(q)$, puis $\limsup_k F_{n_k}(x) \leqslant G(x)$.

Pour $y < x$, il existe un rationnel $r$ tel que $y < r < x$ (Archimède, densité de ℚ, (ii)). Alors $G(y) \leqslant H(r)$, et $F_{n_k}(x) \geqslant F_{n_k}(r) \to H(r)$, d'où $\liminf_k F_{n_k}(x) \geqslant G(y)$. Par continuité de $G$ en $x$, $G(y)$ tend vers $G(x)$ quand $y$ tend vers $x$ par la gauche, et $\liminf_k F_{n_k}(x) \geqslant G(x)$.

(ii) Soient $\varepsilon > 0$ et $M$ comme dans la définition. Pour un rationnel $q < -M$, $F_n(q) \leqslant P(|X_n| > M) \leqslant \varepsilon$, donc $H(q) \leqslant \varepsilon$ ; pour $x < -M$, en prenant un rationnel $q \in \,]x, -M[$, on obtient $G(x) \leqslant H(q) \leqslant \varepsilon$.

Pour un rationnel $q > M$, $F_n(q) \geqslant 1 - P(|X_n| > M) \geqslant 1 - \varepsilon$, donc $H(q) \geqslant 1 - \varepsilon$, et $G(x) \geqslant 1 - \varepsilon$ pour $x \geqslant M$, comme borne inférieure de tels $H(q)$.

La fonction $G$ est donc croissante, continue à droite, de limites $0$ et $1$. La preuve de Suites indépendantes, (ii), n'utilise de $F$ que ces propriétés : elle fournit une variable $X = h(U)$ telle que $F_X = G$, où $U$ est l'identité de $[0, 1[$ muni de la mesure de Lebesgue, de loi uniforme (Variables aléatoires). Par (i), $F_{n_k}(x) \to F_X(x)$ en tout point de continuité de $F_X$.