Théorème 9Analyse de Fourier

Théorème de continuité de Lévy

Pour des variables réelles $X_n$ et $X$ , éventuellement définies sur des espaces différents, on dit que $X_n$ converge en loi vers $X$ si $F_{X_n}(x) \to F_X(x)$ en tout point $x$ où la fonction de répartition $F_X$ est continue (Variables aléatoires).

Énoncé

(i) Lemme de Scheffé. Si des densités de probabilité $h_n$ convergent presque partout vers une densité $h$ , alors $\int |h_n - h| \to 0$ .

(ii) Lévy. Si $\varphi_{X_n}(t) \to \varphi_X(t)$ pour tout $t \in {\mathbb R}$ , alors $X_n$ converge en loi vers $X$ .

Démonstration

(i) Comme $\int h_n = \int h = 1$ , on a $\int (h - h_n) = 0$ , donc $\int |h_n - h| = 2\int (h - h_n)^+$ . Or $0 \leqslant (h - h_n)^+ \leqslant h$ , intégrable, et $(h - h_n)^+ \to 0$ presque partout : la convergence dominée (Convergence dominée, (i)) conclut.

(ii) Lissage. Soit $\sigma > 0$ et $N$ de loi $\mathcal N(0, 1)$ , indépendante de $X_n$ sur un espace produit, comme dans la preuve de Fonctions caractéristiques, (iv).

La variable $X_n + \sigma N$ a pour densité $h_{n,\sigma}(x) = \frac1{2\pi}\int \varphi_{X_n}(-t)\,e^{ixt}\,e^{-\sigma^2t^2/2}\,dt,$ et de même $X + \sigma N$ a pour densité $h_\sigma$ , avec $\varphi_X$ .

Comme $|\varphi_{X_n}| \leqslant 1$ et que $e^{-\sigma^2t^2/2}$ est intégrable, la convergence dominée (Convergence dominée, (i)), appliquée aux parties réelle et imaginaire, donne $h_{n,\sigma}(x) \to h_\sigma(x)$ pour tout $x$ .

Par (i), pour tout $y$ , $\begin{aligned} &|P(X_n + \sigma N \leqslant y) - P(X + \sigma N \leqslant y)| \\ &\leqslant \int |h_{n,\sigma} - h_\sigma| \to 0. \end{aligned}$

Encadrement. Soient $x \in \mathbb R$ , $\varepsilon > 0$ , et $r_\sigma = P(|\sigma N| > \varepsilon) \leqslant \sigma^2/\varepsilon^2$ (Bienaymé-Tchebychev, Espérance, variance, (iii)).

Si $X_n \leqslant x$ et $\sigma N \leqslant \varepsilon$ , alors $X_n + \sigma N \leqslant x + \varepsilon$ ; et si $X + \sigma N \leqslant x + \varepsilon$ et $\sigma N \geqslant -\varepsilon$ , alors $X \leqslant x + 2\varepsilon$ . Donc $F_{X_n}(x) \leqslant P(X_n + \sigma N \leqslant x + \varepsilon) + r_\sigma$ et $P(X + \sigma N \leqslant x + \varepsilon) \leqslant F_X(x + 2\varepsilon) + r_\sigma.$

En faisant tendre $n$ vers l'infini, $\limsup_n F_{X_n}(x) \leqslant F_X(x + 2\varepsilon) + 2r_\sigma,$ puis, avec $\sigma \to 0$ , $\limsup_n F_{X_n}(x) \leqslant F_X(x + 2\varepsilon)$ , et, avec $\varepsilon \to 0$ et la continuité à droite de $F_X$ , $\limsup_n F_{X_n}(x) \leqslant F_X(x)$ .

Les inclusions symétriques, $\begin{aligned} \{X_n + \sigma N \leqslant x - \varepsilon\} &\subset \{X_n \leqslant x\} \\ &\quad \cup \{\sigma N < -\varepsilon\} \end{aligned}$ et $\begin{aligned} \{X \leqslant x - 2\varepsilon\} &\subset \{X + \sigma N \leqslant x - \varepsilon\} \\ &\quad \cup \{\sigma N > \varepsilon\}, \end{aligned}$ donnent de même $\liminf_n F_{X_n}(x) \geqslant F_X(x - 2\varepsilon)$ pour tout $\varepsilon > 0$ . Si $F_X$ est continue en $x$ , $F_X(x - 2\varepsilon) \to F_X(x)$ , et $F_{X_n}(x) \to F_X(x)$ .

□

Remarque

Soit $X_n$ uniforme sur $\{\frac1n, \frac2n, \dots, 1\}$ et $X$ uniforme sur $[0, 1]$ . Alors $\varphi_{X_n}(t) = \frac1n\sum_{k=1}^n e^{itk/n}$ est une somme de Riemann de $x \mapsto e^{itx}$ sur $[0, 1]$ , et tend vers $\int_0^1 e^{itx}\,dx = \varphi_X(t)$ (Sommes de Riemann, appliqué à $\cos(tx)$ et à $\sin(tx)$ ).

Le théorème donne la convergence en loi, que l'on vérifie directement : $F_{X_n}(x) = \lfloor nx \rfloor/n \to x$ pour $x \in [0, 1]$ .

Les fonctions de répartition des lois uniformes sur

\{\frac kn : 1 \leqslant k \leqslant n\}

, pour

n = 4

en bleu et

n = 12

en rouge, sont des escaliers de marches

\frac1n

; elles se rapprochent de la diagonale

F_X(x) = x

, en gris, à moins de

\frac1n

près.

Remarque

L'hypothèse porte sur une fonction limite qui est déjà une fonction caractéristique. La forme complète du théorème de Lévy ne suppose que la continuité en $0$ de la limite simple $\varphi$ : il faut alors montrer que la suite des lois ne laisse pas de masse s'échapper à l'infini, propriété de tension, puis extraire une sous-suite qui converge, ce qui demande un argument de compacité. Elle est démontrée au nœud Lévy, forme complète, par l'inégalité de troncature (Troncature) et le théorème de sélection de Helly (Sélection de Helly).

L'exemple de $X_n$ de loi $\mathcal N(0, n)$ , pour laquelle $\varphi_{X_n}(t) = e^{-nt^2/2}$ tend vers l'indicatrice de $\{0\}$ , discontinue en $0$ , montre que l'on ne peut pas omettre cette hypothèse : $F_{X_n}(x) \to \frac12$ pour tout $x$ , et la limite n'est pas une fonction de répartition.

Remarque

Avec ce théorème, le théorème central limite (Théorème central limite) se ramène à un calcul de fonctions caractéristiques. Si $X_1, X_2, \dots$ sont indépendantes, de même loi que $X$ centrée réduite, et $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ , alors $\varphi_{S_n/\sqrt n}(t) = \varphi_X(t/\sqrt n)^n$ par Fonctions caractéristiques, (ii) ; comme $e^{-t^2/2}$ est la fonction caractéristique de la loi $\mathcal N(0, 1)$ , dont la fonction de répartition est continue, il suffit de montrer que $\varphi_X(t/\sqrt n)^n \to e^{-t^2/2}$ .

Un développement de $\varphi_X$ à l'ordre $2$ en $0$ , qui existe sous la seule hypothèse d'un moment d'ordre $2$ , le permet, alors que la preuve de Lindeberg du nœud cité demande un moment d'ordre $3$ . Ce développement et le théorème central limite qui s'en déduit sont démontrés au nœud TCL par Fourier.

Repose sur

Fonctions caractéristiques des variables aléatoires

Sert à

Convergence en loi et espérances des fonctions continues bornées Théorème de sélection de Helly Théorème central limite sous un moment d'ordre 2