Convergence en loi et espérances des fonctions continues bornées

(i) Les événements $\{X \leqslant x - \frac1k\}$ croissent vers $\{X < x\}$ ; par continuité croissante (Mesures, (iii)) et croissance de $F_X$, $\sup_{y < x} F_X(y) = P(X < x)$. Le saut vaut donc $P(X \leqslant x) - P(X < x) = P(X = x)$. Comme $F_X$ est continue à droite (Variables aléatoires, (i)), elle est continue en $x$ si et seulement si $P(X = x) = 0$.

Pour $m \geqslant 1$, soit $D_m$ l'ensemble des $x$ tels que $P(X = x) > \frac1m$. Si $x_1, \dots, x_r$ sont des points distincts de $D_m$, alors $$\begin{aligned} \frac rm &< \sum_{i=1}^r P(X = x_i) \\ &= P\big(X \in \{x_1, \dots, x_r\}\big) \leqslant 1, \end{aligned}$$ donc $r < m$ : chaque $D_m$ est fini.

L'ensemble $D$ des points de discontinuité est la réunion des $D_m$. Chaque $D_m$, fini, est de mesure de Lebesgue nulle (Mesure de Lebesgue), donc $\lambda(D) = 0$ par sous-additivité (Mesures, (ii)). Un intervalle $]a, b[$ avec $a < b$, de mesure $b - a > 0$, n'est donc pas contenu dans $D$.

(ii) Soient $f$ continue et bornée, $\|f\| = \sup|f|$, et $\varepsilon > 0$. Notons $F = F_X$ et $F_n = F_{X_n}$. Comme $F$ tend vers 0 en $-\infty$ et vers $1$ en $+\infty$, il existe des réels $A < B$ tels que $F(A) \leqslant \varepsilon$ et $F(B) \geqslant 1 - \varepsilon$.

Par (i), il existe des points de continuité $a \in \,]A - 1, A[$ et $b \in \,]B, B + 1[$ de $F$ ; par croissance, $F(a) \leqslant \varepsilon$ et $F(b) \geqslant 1 - \varepsilon$.

Une fonction en escalier. La fonction $f$ est uniformément continue sur $[a, b]$ (Théorème de Heine) : soit $\delta > 0$ tel que $|f(x) - f(y)| \leqslant \varepsilon$ pour $x, y \in [a, b]$ et $|x - y| < \delta$. Soit $r \geqslant 2$ un entier tel que $h = \frac{b - a}r < \frac\delta2$.

Par (i), chaque intervalle $]a + (j - 1)h, a + jh[$, pour $1 \leqslant j \leqslant r - 1$, contient un point de continuité $x_j$ de $F$. Avec $x_0 = a$ et $x_r = b$, on obtient des points de continuité $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_r = b$ tels que $x_j - x_{j-1} < 2h < \delta$.

Posons $$s = \sum_{j=1}^r f(x_j)\,\mathbf 1_{]x_{j-1}, x_j]}.$$ Alors $|f - s| \leqslant \varepsilon$ sur $]a, b]$, et $|f - s| = |f| \leqslant \|f\|$ ailleurs. Pour toute variable $Y$, on a donc $$\begin{aligned} &|E[f(Y)] - E[s(Y)]| \\ &\leqslant \varepsilon + \|f\|\,P(Y \notin \,]a, b]) \\ &= \varepsilon + \|f\|\big(F_Y(a) + 1 - F_Y(b)\big), \end{aligned}$$ et $$\begin{aligned} &E[s(Y)] \\ &= \sum_{j=1}^r f(x_j)\big(F_Y(x_j) - F_Y(x_{j-1})\big). \end{aligned}$$

Passage à la limite. Tous les $x_j$ étant des points de continuité de $F$, la convergence en loi donne $E[s(X_n)] \to E[s(X)]$ et $F_n(a) + 1 - F_n(b) \to F(a) + 1 - F(b) \leqslant 2\varepsilon$. Par l'inégalité triangulaire, $$\begin{aligned} &\limsup_n |E[f(X_n)] - E[f(X)]| \\ &\leqslant 2\varepsilon\big(1 + 2\|f\|\big), \end{aligned}$$ et $\varepsilon$ est arbitraire.

Enfin $\varphi_X(t) = E[\cos(tX)] + iE[\sin(tX)]$, et l'on applique ce qui précède à $\cos(t\,\cdot)$ et à $\sin(t\,\cdot)$, continues et bornées par $1$ (Exponentielle, (iii) et (iv)).