Inégalité de troncature et contrôle des queues

(i) Le noyau. Pour $y$ réel, $\sin y = \int_0^y \cos s\,ds$ (Exponentielle, (iv)), puisque la différence des deux membres a une dérivée nulle (Théorème fondamental) et s'annule en $0$ (Signe de la dérivée, (ii)), et $|\cos| \leqslant 1$ (Exponentielle, (iii)) ; donc $|\sin y| \leqslant |y|$.

Posons $k(0) = 0$ et, pour $y \neq 0$, $$k(y) = 2\Big(1 - \frac{\sin y}{y}\Big).$$ Alors $k \geqslant 0$ ; et si $|y| \geqslant 2$, $\big|\frac{\sin y}{y}\big| \leqslant \frac1{|y|} \leqslant \frac12$, donc $k(y) \geqslant 1$.

Pour $x$ réel non nul, une primitive de $t \mapsto \cos(tx)$ est $t \mapsto \frac{\sin(tx)}{x}$, d'où, par le théorème fondamental et Riemann et Lebesgue, $$\begin{aligned} &\int_{-u}^{u}\big(1 - \cos(tx)\big)\,dt \\ &= 2u - \frac{2\sin(ux)}{x} = u\,k(ux), \end{aligned}$$ égalité qui vaut aussi pour $x = 0$, les deux membres étant nuls.

Interversion. La fonction $(t, x) \mapsto 1 - \cos(tx)$ est positive, et mesurable sur ${\mathbb R^2}$ pour la tribu produit, comme composée de la fonction continue $\cos$ et du produit des deux coordonnées (Fonctions mesurables, (iii)).

Comme $\operatorname{Re}\varphi_X(t) = E[\cos(tX)]$, le théorème de Tonelli (Tonelli, Fubini), appliqué à la mesure de Lebesgue sur $[-u, u]$ et à $P_X$, et le transfert (Espérance, variance, (i)) donnent $$\frac1u\int_{-u}^{u}\big(1 - \operatorname{Re}\varphi_X(t)\big)\,dt = E[k(uX)].$$ Enfin $k(uX) \geqslant \mathbf 1_{\{|uX| \geqslant 2\}}$, d'où $E[k(uX)] \geqslant P(|X| \geqslant \frac2u)$.

(ii) Chaque $\varphi_{X_n}$ est continue (Fonctions caractéristiques, (i)) ; la limite simple $\varphi$ a donc des parties réelle et imaginaire mesurables (Fonctions mesurables, (ii)), elle est bornée par $1$, et $\varphi(0) = \lim_n \varphi_{X_n}(0) = 1$.

Soit $\varepsilon > 0$. Par continuité de $\varphi$ en $0$, il existe $u > 0$ tel que $|1 - \varphi(t)| \leqslant \frac\varepsilon4$ pour $|t| \leqslant u$, d'où $$\frac1u\int_{-u}^{u}\big(1 - \operatorname{Re}\varphi\big) \leqslant \frac\varepsilon2.$$ Sur $[-u, u]$, les fonctions $1 - \operatorname{Re}\varphi_{X_n}$ sont dominées par la constante $2$ et convergent simplement vers $1 - \operatorname{Re}\varphi$ ; par convergence dominée (Convergence dominée, (i)), leurs intégrales convergent.

Il existe donc $N$ tel que $\frac1u\int_{-u}^{u}(1 - \operatorname{Re}\varphi_{X_n}) \leqslant \varepsilon$ pour $n \geqslant N$, et (i) donne alors $P(|X_n| > \frac2u) \leqslant \varepsilon$.

Pour chaque $n < N$, les événements $\{|X_n| > m\}$, $m \in {\mathbb N}$, décroissent et ont une intersection vide ; par continuité décroissante (Mesures, (iii)), $P(|X_n| > m) \to 0$. Soit $m_n$ le plus petit entier tel que $P(|X_n| > m_n) \leqslant \varepsilon$ ; le réel $M = \max\big(\frac2u, m_0, \dots, m_{N-1}\big)$ convient.