Matrices élémentaires et pivot de Gauss

(i) Notons $\delta_{kl}$ le nombre qui vaut $1$ si $k = l$ et $0$ sinon. Le coefficient $(k, l)$ de $T_{ij}(s)A$ est $a_{kl} + s\,\delta_{ki}\,a_{jl}$, et celui de $AT_{ij}(s)$ est $a_{kl} + s\,a_{ki}\,\delta_{jl}$. Le coefficient $(k, l)$ de $P_\sigma$ vaut $1$ si $k = \sigma(l)$ et $0$ sinon, d'où $(P_\sigma A)_{kl} = a_{\sigma^{-1}(k)\, l}$.

(ii) Dans la formule $\det A = \sum_\rho \varepsilon(\rho) \prod_j a_{\rho(j)\, j}$ (Déterminant d'une matrice), un produit n'est non nul que si $a_{\rho(j)\,j} \neq 0$ pour tout $j$.

Pour $T_{ij}(s)$, cela impose $\rho(l) = l$ pour $l \neq j$, puis $\rho(j) = j$, puisque la valeur $i$ est déjà prise par $\rho(i) = i$ : seul $\rho = \mathrm{id}$ contribue, pour $1$. Pour $P_\sigma$, seul $\rho = \sigma$ contribue, pour $\varepsilon(\sigma)$ ; pour une matrice diagonale, seul $\rho = \mathrm{id}$.

Ensuite $T_{ij}(s)T_{ij}(-s) = I_n - s^2E_{ij}E_{ij} = I_n$, car $E_{ij}E_{ij} = 0$ pour $i \neq j$, et $P_\sigma P_\rho e_j = e_{\sigma(\rho(j))}$. Enfin, $P_\sigma E_{ij} P_\sigma^{-1}$ envoie $e_{\sigma(l)}$ sur $P_\sigma E_{ij} e_l$, qui vaut $e_{\sigma(i)}$ si $l = j$ et $0$ sinon : c'est $E_{\sigma(i)\sigma(j)}$.

(iii) Par récurrence sur $n$, le cas $n = 1$ étant immédiat. Soit $A$ inversible, avec $n \geqslant 2$. Sa dernière colonne $Ae_n$ n'est pas nulle ; soit $i$ le plus petit indice tel que $a_{in} \neq 0$, et $\tau$ la transposition $(i\ n)$, ou l'identité si $i = n$.

Par (i), $B = P_\tau A$ a un coefficient $b_{nn} \neq 0$. Multiplions $B$ à gauche, pour chaque $k < n$, par $T_{kn}(-b_{kn}/b_{nn})$ : la ligne $k$ perd $b_{kn}/b_{nn}$ fois la ligne $n$, qui n'est pas modifiée, et le coefficient $(k, n)$ s'annule.

On obtient $C = LB$, où $L$ est un produit de transvections, et la dernière colonne de $C$ est $b_{nn}e_n$. Multiplions $C$ à droite, pour chaque $j < n$, par $T_{nj}(-c_{nj}/b_{nn})$ : la colonne $j$ perd $c_{nj}/b_{nn}$ fois la colonne $n$, ce qui n'en change que le coefficient $(n, j)$, et l'annule.

La matrice $D = CR$ obtenue, où $R$ est un produit de transvections, est diagonale par blocs, de blocs $A' \in \mathcal M_{n-1}(K)$ et $b_{nn}$. Son déterminant, développé suivant la dernière colonne (Comatrice), vaut $b_{nn}\det A'$. Il n'est pas nul, puisque $D = LP_\tau AR$ est inversible (Déterminant d'une matrice, (ii)) : $A'$ est inversible.

Par hypothèse de récurrence, $A'$ est un produit de matrices élémentaires inversibles de taille $n - 1$. L'application qui envoie $M$ sur la matrice diagonale par blocs de blocs $M$ et $1$ respecte les produits, et envoie une matrice élémentaire sur une matrice élémentaire de même sorte. Comme $D$ est le produit de l'image de $A'$ et de $\operatorname{diag}(1, \dots, 1, b_{nn})$, c'est un produit de matrices élémentaires inversibles, et il en va de même de $A = P_\tau^{-1}L^{-1}DR^{-1}$, par (ii).