Formes et orientation sur une variété à bord, orientation induite

La convention se lit sur la normale sortante. En un point de $\partial\mathbb H^n$, un vecteur $v$ sort de $\mathbb H^n$ si $v_n < 0$, et $\nu = -e_n$ est la normale sortante. On convient qu'une base $(v_1, \dots, v_{n-1})$ de l'hyperplan tangent au bord est directe si $(\nu, v_1, \dots, v_{n-1})$ est une base directe de $\mathbb R^n$. Or le signe de $-e_n$ donne un facteur $-1$, et ramener $e_n$ de la première place à la dernière coûte $n - 1$ transpositions : $$\det(-e_n, e_1, \dots, e_{n-1}) = (-1)^n.$$ La base $(e_1, \dots, e_{n-1})$ de $\partial\mathbb H^n \cong \mathbb R^{n-1}$ est donc directe si et seulement si $n$ est pair, et $\kappa$ corrige le signe quand $n$ est impair. Ce calcul a été refait à la machine pour $n \leqslant 8$.

Le signe est celui de la face $(n, 0)$ du cube dans le bord cubique, $(-1)^{n+0}$ (Cubes singuliers), qui est la face $\{t_n = 0\}$, posée sur $\partial\mathbb H^n$ : les deux conventions s'accordent. C'est pour cela que l'on a pris $\mathbb H^n = \{x_n \geqslant 0\}$, comme l'annonçait la dernière remarque du nœud Formule de Stokes. Avec le demi-espace $\{x_n \leqslant 0\}$, la normale sortante serait $e_n$, le signe $(-1)^{n-1}$, celui de la face $(n, 1)$ ; rien d'autre ne changerait.

Sur le disque fermé $D$ de $\mathbb R^2$, orienté par l'atlas qui contient la carte translatée $(x, y) \mapsto (x, y + 2)$ de son intérieur, la carte $\varphi(x, y) = (-x, 1 - x^2 - y^2)$, définie sur $D \cap \{y > 0\}$ à valeurs dans $\mathbb H^2$, a pour jacobien $2y > 0$ : elle est directe. Comme $n = 2$ est pair, la carte induite sur le demi-cercle supérieur est $(x, y) \mapsto -x$, qui croît de $-1$ à $1$ quand on va de $(1, 0)$ à $(-1, 0)$ : l'orientation induite sur le cercle est le sens trigonométrique.

Pour la boule fermée de $\mathbb R^3$, la carte $(x, y, z) \mapsto (-x, y, 1 - x^2 - y^2 - z^2)$, sur $\{z > 0\}$, a pour jacobien $2z > 0$, et, $n = 3$ étant impair, la carte induite sur l'hémisphère nord est $\kappa(-x, y) = (x, y)$ : c'est la projection sur le plan horizontal, qui oriente l'hémisphère par la normale dirigée vers le haut, c'est-à-dire sortante.

En dimension $1$, la définition est trop étroite : le segment $[0, 1]$ n'a aucune orientation au sens de ce nœud, alors qu'il est orientable pour les définitions usuelles. La raison est que, pour $n \geqslant 2$, la réflexion $z \mapsto (-z_1, z_2, \dots, z_n)$ conserve $\mathbb H^n$, si bien que toute carte à bord peut être rendue directe en la composant avec elle, alors que, pour $n = 1$, aucune réflexion de $\mathbb H^1 = [0, +\infty[$ ne renverse l'orientation. Plus précisément, une carte au voisinage de $1$, à valeurs dans $\mathbb H^1$, envoie $1$ sur $0$ et, injective et continue sur un intervalle, elle y est décroissante ; une carte au voisinage de $0$ est de même croissante. Pour une orientation donnée, le signe de la dérivée du changement de carte entre une carte directe en $t \in \,]0, 1[$ et la carte $t \mapsto t$ ne dépend pas de la carte directe, puisque deux cartes directes ont un changement de carte de dérivée positive ; c'est une fonction localement constante sur l'intervalle $]0, 1[$, donc constante (Valeurs intermédiaires). Elle devrait pourtant être positive près de $0$ et négative près de $1$. On peut admettre aussi, pour $n = 1$, des cartes à valeurs dans $]{-\infty}, 0]$, comme le font par exemple les notes de géométrie différentielle de B. Andrews (Australian National University, chapitre 14) ; ce chapitre ne le fait pas. Pour cette raison, et parce que l'orientation d'une variété de dimension $0$ n'est pas définie dans l'atlas, l'orientation induite et la formule (i) du nœud Stokes sur une variété sont réservées à $n \geqslant 2$. En dimension $1$, la formule de Stokes est le théorème fondamental de l'analyse, déjà démontré sous la forme $\int_c df = f(c(1)) - f(c(0))$ (Formule de Stokes).