Trois applications des extrema liés

(i) Le cas $n = 1$ est une égalité. Soit $n \geqslant 2$, $\omega = (1, \dots, 1)$, $f(x) = x_1 \cdots x_n$ et $g(x) = x_1 + \cdots + x_n - n$, fonctions polynomiales, donc de classe $C^\infty$ (Classe Cᵏ, (iii)).

L'ensemble $U = \,]0, +\infty[^n$ est ouvert, comme intersection des images réciproques de $]0, +\infty[$ par les projections. Sur $U$, $dg(x)h = h_1 + \cdots + h_n$ est surjective, puisqu'elle vaut $1$ en $(1, 0, \dots, 0)$, et l'on note $\Gamma = \{x \in U : g(x) = 0\}$.

Existence d'un maximum. La partie $K = \{x \in \mathbb R^n : x_i \geqslant 0 \text{ pour tout } i,\ g(x) = 0\}$ est fermée, comme intersection d'images réciproques de fermés par des applications continues, et bornée, puisque $0 \leqslant x_i \leqslant n$ ; elle est donc compacte (L'espace ℝⁿ, (iii)), et elle contient $\omega$. La fonction continue $f$ y atteint un maximum $M$ en un point $c$ (Compacts de ℝ, (iii)).

On a $M \geqslant f(\omega) = 1 > 0$, donc tous les $c_i$ sont strictement positifs, et $c \in \Gamma$. Comme $\Gamma \subset K$, la fonction $f$ admet en $c$ un maximum lié.

Le point de maximum. Par le théorème des extrema liés (Multiplicateurs de Lagrange, (ii)), il existe $\lambda$ tel que $\nabla f(c) = \lambda\, \omega$, c'est-à-dire $$\prod_{j \neq i} c_j = \lambda \quad \text{pour tout } i.$$ En multipliant par $c_i$, on obtient $M = \lambda c_i$ pour tout $i$. Comme $M > 0$, $\lambda$ n'est pas nul, et tous les $c_i$ valent $M/\lambda$ ; leur somme étant $n$, $c = \omega$ et $M = 1$.

Ainsi $f \leqslant 1$ sur $K$. Si $x \in K$ vérifie $f(x) = 1$, c'est un point de maximum de $f$ sur $K$, et le raisonnement précédent, appliqué à $x$ au lieu de $c$, donne $x = \omega$.

Cas général. Soient $x_1, \dots, x_n \geqslant 0$ et $s = x_1 + \cdots + x_n$. Si $s = 0$, tous les $x_i$ sont nuls et l'égalité a lieu. Sinon, $y = (n/s)\,x$ appartient à $K$, et $f(y) = (n/s)^n f(x) \leqslant 1$ est l'inégalité annoncée. L'égalité a lieu si et seulement si $y = \omega$, c'est-à-dire si tous les $x_i$ valent $s/n$.

(ii) La fonction $g$ est polynomiale, et $dg(x)h = 2\langle x, h \rangle$. Pour $x \in S$, $dg(x)x = 2 \neq 0$ : la forme linéaire $dg(x)$ est surjective sur $\mathbb R$.

La sphère $S$ est fermée, comme image réciproque de $\{1\}$, bornée, puisque $|x_i| \leqslant 1$, et non vide : elle est compacte (L'espace ℝⁿ, (iii)), et la fonction polynomiale $q$ y atteint un maximum $M$ en un point $a$ et un minimum $m$ en un point $a'$ (Compacts de ℝ, (iii)).

Comme $q(x) = \sum_{j,k} a_{jk} x_j x_k$, on a $\partial_j q(x) = \sum_k (a_{jk} + a_{kj}) x_k = 2(Ax)_j$ par symétrie de $A$, donc $\nabla q(x) = 2Ax$ ; et $\nabla g(x) = 2x$. L'égalité $\nabla q(a) = \lambda \nabla g(a)$ équivaut donc à $Aa = \lambda a$, et alors, $a$ étant dans $S$, $$\lambda = \lambda\langle a, a \rangle = \langle Aa, a \rangle = q(a).$$

Le point $a$ est un maximum lié de $q$ ; le théorème des extrema liés (Multiplicateurs de Lagrange, (ii)) fournit $\lambda$ tel que $\nabla q(a) = \lambda \nabla g(a)$. Ainsi $Aa = \lambda a$ avec $a \neq 0$ : $\lambda$ est une valeur propre de $A$, et $\lambda = q(a) = M$. De même pour $m$, au point $a'$.

Enfin, si $Av = \mu v$ avec $v \neq 0$, le vecteur $u = v/\sqrt{\langle v, v \rangle}$ appartient à $S$, et $q(u) = \mu\langle u, u \rangle = \mu$ est compris entre $m$ et $M$.

(iii) La fonction $f(x) = \|x - b\|_2^2 = \sum_i (x_i - b_i)^2$ est polynomiale, et $\nabla f(x) = 2(x - b)$. Comme $t \mapsto t^2$ est croissante sur $[0, +\infty[$, $f$ admet en $a$ un minimum local lié.

Le théorème des extrema liés donne des réels $\lambda_i$ tels que $2(a - b) = \sum_i \lambda_i \nabla g_i(a)$. Pour $v \in T_a\Gamma = \operatorname{Ker} dg(a)$ (Ensembles de niveau, (ii)), on a $\langle \nabla g_i(a), v \rangle = dg_i(a)v = 0$ pour tout $i$, d'où $\langle a - b, v \rangle = 0$.