ChapitreAnalyse complexe

Théorème des résidus

Une fonction holomorphe sur une couronne $\{r_1 < |z - c| < r_2\}$ se développe en série de Laurent, somme d'une série entière en $z - c$ et d'une série entière en $\frac{1}{z - c}$. Près d'un point où elle n'est pas définie, ce développement classe la singularité : fausse, quand la fonction se prolonge, ce qui arrive dès qu'elle est bornée (Riemann) ; pôle, quand son module tend vers l'infini ; essentielle sinon, et l'image de tout petit disque épointé est alors dense (Casorati-Weierstrass).

Le coefficient de $\frac{1}{z - c}$ est le résidu. Le théorème des résidus calcule l'intégrale d'une fonction holomorphe sur un ouvert convexe privé d'un nombre fini de points, le long d'un lacet qui les évite, comme $2i\pi$ fois la somme des résidus pondérés par l'indice du lacet en chaque point, entier qui compte ses tours. Il en découle le principe de l'argument, le théorème de Rouché, qui localise les racines d'un polynôme, et le calcul d'intégrales réelles. La version homologique, pour un ouvert quelconque, est énoncée en remarque et admise. Aucune forme du choix n'intervient.