Intégrales sur la droite réelle par le demi-cercle

(i) Points du demi-plan inférieur. L'image de $\gamma_R$ est contenue dans $\{\operatorname{Im} z \geqslant 0\}$, puisque $\sin \geqslant 0$ sur $[0, \pi]$ : c'est vrai sur $[0, \frac\pi2]$, où $\sin$ prolonge la fonction $s$, positive sur $[0, \frac\pi2[$, et vaut $1$ en $\frac\pi2$ (Tangente, cos et sin, (iii), et Cosinus et sinus sur ℝ), et $\sin(\pi - s) = \sin s$, puisque $\exp(i(\pi - s)) = -\exp(-is)$. Si $\operatorname{Im} w < 0$, le demi-plan ouvert $\{\operatorname{Im} z > \operatorname{Im} w\}$ est convexe, contient l'image et ne contient pas $w$ : l'indice est nul (Indice d'un lacet, (iv)).

Points du demi-plan supérieur. Soit $\operatorname{Im} w > 0$, $|w| < R$, et $f(z) = \frac{1}{z - w}$. La relation de Chasles coupe l'intégrale sur le cercle $C(0, R)$ en $I_R(f)$ et l'intégrale $I'_R(f)$ sur l'arc inférieur, $s \mapsto R\exp(is)$ pour $s \in [\pi, 2\pi]$ : $$2i\pi\operatorname{Ind}_{C(0, R)}(w) = I_R(f) + I'_R(f).$$

L'arc inférieur, sur lequel $\sin \leqslant 0$ par $\sin(s + \pi) = -\sin s$, et le segment $[-R, R]$ sont deux chemins de $-R$ à $R$ contenus dans le demi-plan $H = \{\operatorname{Im} z < \operatorname{Im} w\}$, ouvert, convexe, qui ne contient pas $w$. Sur $H$, $f$ a une primitive holomorphe $F$ (Cauchy, ouverts convexes), et les deux intégrales, $I'_R(f)$ et $\int_{-R}^R f$, valent $F(R) - F(-R)$ (Intégrale curviligne, (ii)).

Donc $2i\pi\operatorname{Ind}_{\gamma_R}(w) = \int_{-R}^R f + I_R(f) = 2i\pi\operatorname{Ind}_{C(0, R)}(w)$, qui vaut $2i\pi$ (Indice d'un lacet, (v)).

(ii) La fonction $f(z) = \frac{1}{(1 + z^2)^2}$ est holomorphe sur $\mathbb C$ privé de $i$ et $-i$. Près de $i$, $f(z) = \frac{g(z)}{(z - i)^2}$ avec $g(z) = (z + i)^{-2}$, holomorphe près de $i$ : la formule (ii) du nœud Calcul des résidus, avec $m = 2$, donne $$\operatorname{Res}(f, i) = g'(i) = \frac{-2}{(2i)^3} = -\frac i4.$$

Pour $R > 1$, le théorème des résidus (Théorème des résidus) et (i) donnent $$\begin{aligned} &\int_{-R}^R \frac{dx}{(1 + x^2)^2} + I_R(f) \\ &\quad = 2i\pi\cdot\Big(-\frac i4\Big) = \frac\pi2. \end{aligned}$$

Pour $|z| = R$, $|1 + z^2| \geqslant |z|^2 - 1 = R^2 - 1$, donc $|f(z)| \leqslant (R^2 - 1)^{-2}$ ; l'arc a pour longueur $\pi R$, et (Intégrale curviligne, (i)) $$|I_R(f)| \leqslant \frac{\pi R}{(R^2 - 1)^2} \xrightarrow[R \to +\infty]{} 0.$$

(iii) Soit $f(z) = \frac{\exp(iz)}{1 + z^2}$, holomorphe sur $\mathbb C$ privé de $\pm i$, avec $\operatorname{Res}(f, i) = \frac{\exp(-1)}{2i}$ (Calcul des résidus, (iii)). Comme en (ii), $$\int_{-R}^R \frac{\exp(ix)}{1 + x^2}\,dx + I_R(f) = \pi\exp(-1).$$

Pour $z = x + iy$ avec $y \geqslant 0$, on a $|\exp(iz)| = \exp(-y)\,|\exp(ix)| = \exp(-y) \leqslant 1$ (Exponentielle, (ii), (iii), (iv)), d'où $$|I_R(f)| \leqslant \frac{\pi R}{R^2 - 1} \xrightarrow[R \to +\infty]{} 0.$$

La partie réelle de $\int_{-R}^R \frac{\exp(ix)}{1 + x^2}\,dx$ est $\int_{-R}^R \frac{\cos x}{1 + x^2}\,dx$, par définition de l'intégrale d'une fonction complexe, et elle diffère de $\pi\exp(-1)$ d'au plus $|I_R(f)|$.