Théorème des résidus

Parties principales. Pour chaque $j$, choisissons $r_j > 0$ tel que $D(a_j, r_j) \subset U$ et que ce disque ne contienne aucun autre point $a_i$ ; il suffit de prendre $r_j$ inférieur aux distances $|a_i - a_j|$, $i \neq j$, et au rayon d'un disque centré en $a_j$ contenu dans $U$.

Sur la couronne $A(a_j; 0, r_j)$, notons $c^{(j)}_n$ les coefficients de Laurent de $f$ et $S_j(z) = \sum_{n \geqslant 1} c^{(j)}_{-n}(z - a_j)^{-n}$ sa partie principale. Par (ii) et (iii) du nœud Séries de Laurent, avec $r_1 = 0$, $S_j$ est holomorphe sur $\mathbb C \setminus \{a_j\}$, et $f - S_j$ coïncide sur la couronne avec une fonction holomorphe sur tout le disque $D(a_j, r_j)$.

Une fonction sans singularité. La fonction $g = f - \sum_j S_j$ est holomorphe sur $U \setminus \{a_1, \dots, a_p\}$. Sur $D(a_j, r_j) \setminus \{a_j\}$, elle s'écrit $$g = (f - S_j) - \sum_{i \neq j} S_i,$$ somme de fonctions holomorphes sur tout le disque $D(a_j, r_j)$, puisque les $a_i$, $i \neq j$, n'y sont pas.

En donnant à $g$ en chaque $a_j$ la valeur de cette somme, on obtient une fonction $G$ holomorphe sur $U$. Par le théorème de Cauchy convexe (Cauchy, ouverts convexes), $\int_\gamma G = 0$ ; comme $G = g$ sur l'image de $\gamma$, $$\int_\gamma f = \sum_{j=1}^p \int_\gamma S_j.$$

Intégrale d'une partie principale. Soit $\delta_j = \min_t |\gamma(t) - a_j| > 0$ (Indice d'un lacet, (i)). La série entière $\sum_{n \geqslant 1} c^{(j)}_{-n}v^n$ a un rayon infini, donc converge uniformément sur le disque $|v| \leqslant \frac1{\delta_j}$ (lemme d'Abel, Séries entières, (i)) : la série qui définit $S_j$ converge uniformément sur $\gamma^*$.

Sur chaque segment de la subdivision de $\gamma$, la dérivée $\gamma'$ est continue, donc bornée (Compacts de ℝ, (iii)) ; on peut intégrer terme à terme (Convergence uniforme, (iii)) : $$\int_\gamma S_j = \sum_{n \geqslant 1} c^{(j)}_{-n}\int_\gamma \frac{dz}{(z - a_j)^n}.$$

Pour $n \geqslant 2$, $(z - a_j)^{-n}$ est la dérivée de $\frac{-(z - a_j)^{1-n}}{n - 1}$, holomorphe sur $\mathbb C \setminus \{a_j\}$, et son intégrale sur le lacet est nulle (Intégrale curviligne, (ii)). Pour $n = 1$, l'intégrale vaut $2i\pi\operatorname{Ind}_\gamma(a_j)$ par définition.

Donc $\int_\gamma S_j = 2i\pi\operatorname{Ind}_\gamma(a_j)\,c^{(j)}_{-1}$, et $c^{(j)}_{-1} = \operatorname{Res}(f, a_j)$ par la définition du résidu (Calcul des résidus).