Proposition 3Théorème des résidus

Résidu en une singularité isolée et calcul pratique

Soit $a$ une singularité isolée de $f$ , et $c_n$ ses coefficients de Laurent sur un disque épointé $D(a, r) \setminus \{a\}$ (Singularités isolées). Le résidu de $f$ en $a$ est $\operatorname{Res}(f, a) = c_{-1}$ , coefficient de $(z - a)^{-1}$ . Par (i) du nœud Séries de Laurent, pour tout $\rho \in \,]0, r[$ , $\operatorname{Res}(f, a) = \frac{1}{2i\pi}\int_{C(a, \rho)} f.$

Énoncé

(i) Le résidu en une fausse singularité est nul, et $\operatorname{Res}(f + \lambda g, a) = \operatorname{Res}(f, a) + \lambda\operatorname{Res}(g, a)$ pour $\lambda \in \mathbb C$ .

(ii) Si $c_{-n} = 0$ pour tout $n > m$ , où $m \geqslant 1$ , la fonction $g(z) = (z - a)^m f(z)$ se prolonge en une fonction holomorphe au voisinage de $a$ , et $\operatorname{Res}(f, a) = \frac{g^{(m-1)}(a)}{(m - 1)!}.$ En particulier, en un pôle simple, $\operatorname{Res}(f, a) = \lim_{z \to a} (z - a)f(z)$ .

(iii) Si $f = g/h$ , avec $g$ et $h$ holomorphes au voisinage de $a$ , $h(a) = 0$ et $h'(a) \neq 0$ , alors $\operatorname{Res}(f, a) = \frac{g(a)}{h'(a)}$ .

Démonstration

(i) Le premier point est la définition d'une fausse singularité ; le second vient de la formule intégrale, linéaire en $f$ .

(ii) Comme en (i) du nœud Pôles, la série entière $\sum_{k \geqslant 0} c_{k-m}(z - a)^k$ a un rayon au moins $r$ et prolonge $g$ . Son coefficient d'indice $m - 1$ est $c_{-1}$ , et c'est aussi $\frac{g^{(m-1)}(a)}{(m-1)!}$ (Dérivation terme à terme). Pour $m = 1$ , $c_{-1}$ est la valeur en $a$ du prolongement, qui est continu.

(iii) Par (i) du nœud Singularités isolées, $h(z) = (z - a)u(z)$ , avec $u$ holomorphe, sans zéro sur un disque $D(a, r')$ , et $u(a) = h'(a)$ . Sur ce disque privé de $a$ , $f(z) = \frac{g(z)/u(z)}{z - a}$ .

Développons $g/u$ en série entière sur un disque centré en $a$ (Analyticité), $\sum_k b_k(z - a)^k$ avec $b_0 = \frac{g(a)}{u(a)}$ . La série $\sum_k b_k(z - a)^{k-1}$ est alors un développement de Laurent de $f$ , et par unicité (Séries de Laurent, (iv)), $\operatorname{Res}(f, a) = b_0 = \frac{g(a)}{h'(a)}$ .

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Remarque

Voici trois calculs, vérifiés par un calcul formel. Pour $f(z) = \frac{1}{(1 + z^2)^2}$ , pôle d'ordre $2$ en $i$ , la formule (ii) avec $g(z) = (z + i)^{-2}$ donne $\operatorname{Res}(f, i) = g'(i) = \frac{-2}{(2i)^3} = -\frac i4.$ Pour $f(z) = \frac{\exp(iz)}{1 + z^2}$ , pôle simple en $i$ , (iii) donne $\frac{\exp(-1)}{2i}$ . Pour $\exp(1/z)$ , singularité essentielle, aucune formule ne s'applique, mais le développement de Laurent se lit directement : le résidu en $0$ vaut $1$ .

Remarque

L'erreur la plus répandue est d'appliquer la formule du pôle simple sans avoir vérifié l'ordre. Pour $f(z) = \frac{1}{z^2(z - 1)}$ , le produit $zf(z) = \frac{1}{z(z - 1)}$ n'a pas de limite finie en $0$ : le pôle est double. La formule (ii) avec $m = 2$ et $g(z) = \frac{1}{z - 1}$ donne $\operatorname{Res}(f, 0) = g'(0) = -1$ . La formule (ii) reste juste si l'on surestime l'ordre, puisqu'elle ne demande que $c_{-n} = 0$ pour $n > m$ , mais elle devient fausse si on le sous-estime.

Repose sur

Pôles et comportement près d'une singularité

Sert à

Théorème des résidus