Développement en série de Laurent sur une couronne

(i) La fonction $w \mapsto f(w)(w - c)^{-n-1}$ est holomorphe sur $A$ ; son intégrale sur $C(c, \rho)$ ne dépend pas de $\rho$ (Cauchy sur une couronne, (i)).

Le maximum $M(\rho)$ existe, puisque $t \mapsto |f(c + \rho\exp(it))|$ est continue sur $[0, 2\pi]$ (Compacts de ℝ, (iii)). Le cercle a pour longueur $2\pi\rho$, et l'intégrande est majoré par $M(\rho)\rho^{-n-1}$ : la majoration par la longueur (Intégrale curviligne, (i)) donne l'inégalité.

(ii) Pour tout $\rho \in \,]r_1, r_2[$, (i) donne $|a_n\rho^n| \leqslant M(\rho)$ et $|a_{-n}\rho^{-n}| \leqslant M(\rho)$. Les suites $(a_n\rho^n)$ et $(a_{-n}(1/\rho)^n)$ sont donc bornées, et les rayons sont au moins $\rho$ et $\frac1\rho$ (Séries entières). On fait tendre $\rho$ vers $r_2$, puis vers $r_1$.

La fonction $f_+$ est holomorphe comme composée de la somme d'une série entière (Dérivation terme à terme) et de $z \mapsto z - c$. La fonction $f_-$ l'est comme composée de la somme $F_-(v) = \sum_{n \geqslant 1} a_{-n}v^n$, holomorphe sur $D(0, \frac1{r_1})$, et de $z \mapsto \frac1{z - c}$, qui envoie $\{|z - c| > r_1\}$ dans ce disque (Fonctions holomorphes, (ii)).

(iii) Soit $z \in A$, et $\rho_1, \rho_2$ tels que $r_1 < \rho_1 < |z - c| < \rho_2 < r_2$. On part de la formule de Cauchy sur la couronne (Cauchy sur une couronne, (ii)).

Sur le grand cercle, comme dans la preuve du nœud Formule de Cauchy, $$\frac{1}{w - z} = \sum_{n \geqslant 0} \frac{(z - c)^n}{(w - c)^{n+1}},$$ la raison $\frac{z - c}{w - c}$ ayant le module constant $\frac{|z - c|}{\rho_2} < 1$. La convergence est uniforme en $w$, et le reste encore après multiplication par $f(w)$, bornée par $M(\rho_2)$ (Convergence uniforme, (ii)).

En intégrant terme à terme (Convergence uniforme, (iii)), le premier terme de la formule vaut $\sum_{n \geqslant 0} a_n(z - c)^n$, par (i) avec $\rho = \rho_2$.

Sur le petit cercle, c'est le rôle de $z$ et de $w$ qui s'échange : $$\begin{aligned} -\frac{1}{w - z} &= \frac{1}{(z - c) - (w - c)} \\ &= \sum_{m \geqslant 0} \frac{(w - c)^m}{(z - c)^{m+1}}, \end{aligned}$$ de raison $\frac{w - c}{z - c}$, de module constant $\frac{\rho_1}{|z - c|} < 1$.

Le second terme de la formule, avec son signe, vaut donc $\sum_{m \geqslant 0} \beta_m(z - c)^{-m-1}$, où $$\beta_m = \frac{1}{2i\pi}\int_{C(c, \rho_1)} f(w)(w - c)^m\,dw$$ est le coefficient $a_{-m-1}$, par (i) avec $\rho = \rho_1$. Ici encore, le critère de Weierstrass (Convergence uniforme, (ii)), avec les majorants $M(\rho_1)\frac{\rho_1^m}{|z - c|^{m+1}}$, rend la série uniformément convergente en $w$ sur le petit cercle, ce qui permet l'intégration terme à terme (même nœud, (iii)). C'est la série $\sum_{n \geqslant 1} a_{-n}(z - c)^{-n}$.

(iv) Fixons $\rho \in \,]r_1, r_2[$, puis $\rho'$ et $\rho''$ tels que $r_1 < \rho'' < \rho < \rho' < r_2$. La série converge au point $c + \rho'$ : le terme général $b_n\rho'^n$ tend vers $0$, donc est borné, et la série entière $\sum_{n \geqslant 0} b_n u^n$ converge uniformément sur le disque $|u| \leqslant \rho$ (lemme d'Abel, Séries entières, (i)).

De même, la convergence au point $c + \rho''$ rend bornée la suite $\big(b_{-n}(1/\rho'')^n\big)$, et la série $\sum_{n \geqslant 1} b_{-n}v^n$ converge uniformément sur $|v| \leqslant \frac1\rho$, puisque $\frac1\rho < \frac1{\rho''}$. Les deux parties de la série convergent donc uniformément sur le cercle $C(c, \rho)$.

Multiplions par $(w - c)^{-k-1}$, de module constant $\rho^{-k-1}$ sur ce cercle, et intégrons terme à terme. Seul le terme $n = k$ contribue (Intégrale curviligne, (iii)), d'où $2i\pi a_k = 2i\pi b_k$.