Intégrales trigonométriques par les résidus

Passage au cercle. Pour $\theta$ réel et $z = \exp(i\theta)$, on a $\bar z = \exp(-i\theta) = \frac1z$ (Exponentielle, (ii) et (iii)), donc $\cos\theta = \operatorname{Re} z = \frac12\big(z + \frac1z\big)$. Soit $$F(z) = \frac{2}{i(z^2 + 2az + 1)}.$$ Par définition, l'intégrale de $F$ sur le cercle unité $C(0, 1)$ est $\int_0^{2\pi} F(\exp(i\theta))\,i\exp(i\theta)\,d\theta$, et, pour $\omega = \exp(i\theta)$, en divisant le numérateur et le dénominateur par $\omega$, $$F(\omega)\,i\omega = \frac{2}{\omega + 2a + \omega^{-1}}.$$ On obtient l'intégrale cherchée, puisque $\omega + \omega^{-1} = 2\cos\theta$ et que $a + \cos\theta \geqslant a - 1 > 0$.

Les pôles. On a $z^2 + 2az + 1 = (z - z_+)(z - z_-)$ avec $z_\pm = -a \pm \sqrt{a^2 - 1}$, réels. Comme $z_- < -a < -1$ et $z_+z_- = 1$, on a $z_+ = \frac1{z_-} \in \,]{-1}, 0[$. Au pôle simple $z_+$, la formule (iii) du nœud Calcul des résidus, avec $g = \frac2i$ et $h = z^2 + 2az + 1$, de dérivée $2z_+ + 2a = 2\sqrt{a^2 - 1}$ en $z_+$, donne $$\operatorname{Res}(F, z_+) = \frac{1}{i\sqrt{a^2 - 1}}.$$

Le théorème. $F$ est holomorphe sur l'ouvert convexe $\mathbb C$ privé de $z_+$ et $z_-$, et l'indice du cercle unité vaut $1$ en $z_+$ et $0$ en $z_-$ (Indice d'un lacet, (v)). Le théorème des résidus (Théorème des résidus) donne $$\int_{C(0, 1)} F = 2i\pi\cdot\frac{1}{i\sqrt{a^2 - 1}} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2 - 1}}.$$