Théorème 6Théorème des résidus

Principe de l'argument

Une fonction $f$ est méromorphe sur un ouvert $U$ s'il existe une partie $P$ de $U$ , sans point d'accumulation dans $U$ , telle que $f$ soit holomorphe sur $U \setminus P$ , et que chaque $p \in P$ ait un disque $D(p, r) \subset U$ qui ne rencontre $P$ qu'en $p$ , $p$ étant un pôle de la restriction de $f$ à $D(p, r) \setminus \{p\}$ .

Énoncé

(i) Soit $W$ un ouvert, $h$ holomorphe sur $W$ et sans zéro, et $\gamma$ un lacet de $W$ . Alors $h \circ \gamma$ est un lacet qui ne passe pas par $0$ , et $\frac{1}{2i\pi}\int_\gamma \frac{h'}{h} = \operatorname{Ind}_{h \circ \gamma}(0).$

(ii) Soit $U$ un ouvert convexe et $f$ méromorphe sur $U$ , avec un nombre fini de pôles $p_1, \dots, p_q$ , d'ordres $m_1, \dots, m_q$ , et un nombre fini de zéros $z_1, \dots, z_s$ . Alors chaque zéro $z_i$ a un ordre fini $k_i$ , et pour tout lacet $\gamma$ de $U$ qui ne passe par aucun zéro ni aucun pôle, $\begin{aligned} \frac{1}{2i\pi}\int_\gamma \frac{f'}{f} &= \sum_{i=1}^s k_i\operatorname{Ind}_\gamma(z_i) \\ &\quad - \sum_{l=1}^q m_l\operatorname{Ind}_\gamma(p_l) \\ &= \operatorname{Ind}_{f \circ \gamma}(0). \end{aligned}$

(iii) En particulier, si $\gamma = C(c, r)$ avec $\overline D(c, r) \subset U$ , et si le cercle ne passe par aucun zéro ni aucun pôle, cette intégrale est le nombre de zéros de $f$ dans $D(c, r)$ moins le nombre de ses pôles dans ce disque, comptés avec leurs ordres.

Démonstration

(i) La fonction $h \circ \gamma$ est continue et prend la même valeur en $a$ et en $b$ ; sur chaque segment de la subdivision, elle est dérivable de dérivée $h'(\gamma(t))\gamma'(t)$ (Fonctions holomorphes, (iii)), continue puisque $h'$ est holomorphe (Analyticité). C'est donc un lacet, qui évite $0$ , et par définition $\begin{aligned} \operatorname{Ind}_{h \circ \gamma}(0) &= \frac{1}{2i\pi}\int_a^b \frac{h'(\gamma(t))\,\gamma'(t)}{h(\gamma(t))}\,dt \\ &= \frac{1}{2i\pi}\int_\gamma \frac{h'}{h}. \end{aligned}$

(ii) Les zéros. Soit $z_i$ un zéro, et $D(z_i, r)$ un disque contenu dans $U \setminus P$ , qui existe puisque $P$ est fini. La fonction $f$ n'est pas identiquement nulle sur ce disque, puisqu'elle n'a qu'un nombre fini de zéros. Par (i) du nœud Singularités isolées, $f(z) = (z - z_i)^{k_i}u(z)$ , avec $u$ holomorphe et sans zéro près de $z_i$ , et $\frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{k_i}{z - z_i} + \frac{u'(z)}{u(z)}.$ Le second terme est holomorphe près de $z_i$ : par unicité du développement de Laurent (Séries de Laurent, (iv)), $\operatorname{Res}(f'/f, z_i) = k_i$ .

Les pôles. Près de $p_l$ , $f(z) = \frac{g(z)}{(z - p_l)^{m_l}}$ , avec $g$ holomorphe et non nulle en $p_l$ (Pôles, (i)), donc sans zéro près de $p_l$ . Alors $\frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{g'(z)}{g(z)} - \frac{m_l}{z - p_l},$ et de même $\operatorname{Res}(f'/f, p_l) = -m_l$ .

Conclusion. La fonction $f'/f$ est holomorphe sur $U$ privé des zéros et des pôles (Analyticité, Fonctions holomorphes, (ii)), ensemble fini de points : le théorème des résidus (Théorème des résidus) donne la première égalité. La seconde est (i), appliqué à l'ouvert $W$ obtenu en retirant de $U$ les zéros et les pôles, qui est ouvert puisqu'un ensemble fini est fermé.

(iii) Le cercle ne passant par aucun zéro ni aucun pôle, (ii) s'applique. Par (v) du nœud Indice d'un lacet, l'indice du cercle vaut $1$ aux points du disque ouvert et $0$ aux points extérieurs au disque fermé.

À gauche, la fonction

f(z) = \frac{z^2(z - \frac12)}{z + \frac12}

a dans le disque unité un zéro double en

0

et un zéro simple en

\frac12

, en rouge, et un pôle simple en

-\frac12

, en bleu. À droite, l'image

f \circ \gamma

du cercle unité

\gamma

fait

3 - 1 = 2

fois le tour de

0

; les points numérotés se correspondent sur les deux dessins.

□

Remarque

Le nom vient de l'interprétation de (i). Si l'on écrit $f(\gamma(t)) = |f(\gamma(t))|\exp(i\theta(t))$ avec un argument $\theta$ continu, dont l'existence est le relèvement des chemins de la topologie algébrique, l'indice de $f \circ \gamma$ en $0$ est $\frac{\theta(b) - \theta(a)}{2\pi}$ : la variation de l'argument le long du lacet compte les zéros et les pôles qu'il entoure.

Remarque

L'hypothèse de finitude des zéros n'est pas automatique sur un ouvert convexe. La fonction $\exp\big(\frac{2i\pi}{1 - z}\big) - 1$ est holomorphe sur le disque $D(0, 1)$ , et ses zéros, les points où $\frac{1}{1 - z}$ est entier, sont les $1 - \frac1n$ , $n \geqslant 1$ : ils sont en nombre infini et s'accumulent au point $1$ du bord. Sur un disque fermé contenu dans $U$ , en revanche, une fonction holomorphe non identiquement nulle n'a qu'un nombre fini de zéros, comme le montrera le nœud Théorème de Rouché.

Repose sur

Théorème des résidus

Sert à

Théorème de Rouché