Théorème de Rouché

(i) Le cadre. Le point (i) du nœud Formule de Cauchy fournit $s > 0$ tel que $D = D(c, r + s) \subset U$. Sur le cercle, $f$ ne s'annule pas, puisque $|f| > |f - g| \geqslant 0$, et $g$ non plus, puisque $|g| \geqslant |f| - |f - g| > 0$.

Le disque est connexe. Pour $z \in D$, le segment $[c, z]$ est l'image de $[0, 1]$, connexe (Connexes de ℝ), par l'application continue $t \mapsto c + t(z - c)$ ; il est connexe (Stabilité de la connexité, (i)). Le disque est la réunion de ces segments, qui ont tous le point $c$ en commun : il est connexe (même nœud, (ii)).

Un nombre fini de zéros. La fonction $f$, qui ne s'annule pas sur le cercle, n'est pas identiquement nulle sur $D$, et ses zéros dans $D$ sont isolés (Zéros isolés). Tout point $x$ du disque fermé $K = \overline D(c, r + \frac s2)$, compact (Suites et séries complexes, (iv)), a donc un disque ouvert centré en $x$, contenu dans $D$, qui contient au plus un zéro de $f$ : si $f(x) = 0$, par isolement, et sinon, par continuité.

Les disques ouverts contenus dans $D$ qui contiennent au plus un zéro de $f$ recouvrent ainsi $K$ ; un nombre fini d'entre eux suffit, et $f$ n'a qu'un nombre fini de zéros dans $K$. Il en va de même de $g$.

Les deux intégrales. Sur l'ouvert convexe $V = D(c, r + \frac s2)$, $f$ et $g$ sont holomorphes et n'ont qu'un nombre fini de zéros, dont aucun sur le cercle. Par le principe de l'argument (Principe de l'argument, (iii)), les nombres $N_f$ et $N_g$ de zéros de $f$ et de $g$ dans $D(c, r)$ sont $$\begin{aligned} N_f &= \frac{1}{2i\pi}\int_{C(c, r)} \frac{f'}{f}, \\ N_g &= \frac{1}{2i\pi}\int_{C(c, r)} \frac{g'}{g}. \end{aligned}$$

La comparaison. Soit $W$ l'ouvert obtenu en retirant de $V$ les zéros de $f$ et de $g$ ; il contient le cercle. La fonction $h = g/f$ y est holomorphe et sans zéro, et $$\frac{h'}{h} = \frac{g'}{g} - \frac{f'}{f}.$$

Sur le cercle, $|h - 1| = \frac{|g - f|}{|f|} < 1$ : le lacet $h \circ C(c, r)$ est contenu dans le disque $D(1, 1)$, ouvert convexe qui ne contient pas $0$. Son indice en $0$ est nul (Indice d'un lacet, (iv)), et (i) du nœud Principe de l'argument donne $N_g - N_f = \operatorname{Ind}_{h \circ C(c, r)}(0) = 0$.

(ii) Sur le cercle $|z| = 1$, comparons $P$ à $f(z) = -5z$ : $|P(z) - f(z)| = |z^5 + 1| \leqslant 2 < 5 = |f(z)|$. Le seul zéro de $f$ est $0$, simple ; $P$ a donc une seule racine dans $D(0, 1)$, et aucune sur le cercle, puisque $|P| \geqslant 5 - 2$ y est non nul. Comme $P(0) = 1 > 0$ et $P(1) = -3 < 0$, les valeurs intermédiaires (Valeurs intermédiaires) en placent une dans $]0, 1[$ : c'est elle.

Sur le cercle $|z| = 2$, comparons $P$ à $z^5$ : $|P(z) - z^5| = |1 - 5z| \leqslant 11 < 32 = |z^5|$. Le zéro $0$ de $z^5$ est d'ordre $5$, et $P$ a donc cinq racines dans $D(0, 2)$, comptées avec leurs ordres. Il en reste quatre dans la couronne $1 < |z| < 2$.