Théorème 10Analyse complexe

Principe des zéros isolés

Énoncé

Soit $U$ un ouvert connexe et $f$ holomorphe sur $U$ , non identiquement nulle. Les zéros de $f$ sont isolés : chaque zéro $a$ a un voisinage où $f$ ne s'annule qu'en $a$ . Par suite, deux fonctions holomorphes sur $U$ qui coïncident sur une partie ayant un point d'accumulation dans $U$ sont égales. On appelle point d'accumulation d'une partie $A$ un point $a$ tel que tout disque $D(a, \rho)$ contienne un point de $A$ distinct de $a$ .

Démonstration

Soit $A$ l'ensemble des points de $U$ où toutes les dérivées $f^{(n)}$ , $n \geqslant 0$ , s'annulent. Il est fermé dans $U$ , comme intersection des fermés $(f^{(n)})^{-1}(\{0\})$ , les dérivées étant continues (Analyticité).

Il est ouvert : si $c \in A$ , le développement de $f$ sur un disque centré en $c$ a tous ses coefficients nuls, puisque ce sont les $f^{(n)}(c)/n!$ (Analyticité), et $f$ est nulle sur ce disque, ainsi que ses dérivées. $U$ étant connexe et $f$ non identiquement nulle, $A$ est vide (Connexité).

Soit $a$ un zéro de $f$ , et $k$ le plus petit entier tel que $f^{(k)}(a) \neq 0$ , qui existe puisque $a \notin A$ . Les coefficients $c_n = f^{(n)}(a)/n!$ du développement de $f$ en $a$ sont nuls pour $n < k$ , et, sur un disque centré en $a$ , $f(z) = (z - a)^k g(z)$ avec $g(z) = \sum_{n \geqslant k} c_n (z - a)^{n - k},$ somme d'une série entière qui a le même rayon que celle de $f$ , puisque $c_n \rho^{n-k} = \rho^{-k} c_n \rho^n$ pour $\rho > 0$ , donc continue sur le disque (Séries entières, (ii)), et non nulle en $a$ puisque $g(a) = c_k$ ; elle est donc non nulle au voisinage de $a$ . Ainsi $f$ ne s'annule qu'en $a$ près de $a$ .

Pour la seconde affirmation, soient $f_1$ et $f_2$ les deux fonctions ; on applique ce qui précède à leur différence $h = f_1 - f_2$ . Elle s'annule sur la partie considérée, donc aussi, par continuité, en son point d'accumulation $a \in U$ ; et ce zéro $a$ n'est pas isolé, puisque tout voisinage de $a$ contient d'autres points de la partie. Par la première affirmation, $h$ est identiquement nulle.

La fonction

f(z) = \exp(2i\pi/z) - 1

est holomorphe sur l'ouvert connexe

U = \mathbb C \setminus \{0\}

, et ses zéros sont les points

\pm\frac1n

, puisque

\exp w = 1

exactement pour

w \in 2i\pi\mathbb Z

. Chacun est isolé, comme le montrent, pour les six premiers, les disques bleus qui n'en contiennent qu'un, mais ils s'accumulent en

0

, hors de

U

f

coïncide avec la fonction nulle sur une partie infinie sans être nulle, et le point d'accumulation doit donc être pris dans

U

□

Remarque

Une fonction holomorphe sur un ouvert connexe est donc déterminée par ses valeurs sur n'importe quel petit segment. C'est ce qui justifie que $\exp$ , $\cos$ , $\sin$ soient les seuls prolongements holomorphes possibles des fonctions réelles du même nom. En analyse réelle, au contraire, une fonction indéfiniment dérivable peut être nulle sur $]{-\infty}, 0]$ sans l'être partout.

Remarque

L'entier $k$ de la démonstration est l'ordre du zéro $a$ . Le chapitre Théorème des résidus en fait un objet d'étude (Singularités isolées) : le principe de l'argument compte les zéros d'une fonction, chacun avec son ordre, par une intégrale, et le théorème de Rouché en déduit leur nombre dans un disque sans les calculer.

Repose sur

Les fonctions holomorphes sont analytiques

Sert à

Théorème des résidus