ChapitreAnalyse complexe

Représentation conforme

Le module d'une fonction holomorphe non constante sur un ouvert connexe n'a pas de maximum local : c'est le principe du maximum, conséquence de la formule de Cauchy, qui donne sur le disque unité le lemme de Schwarz, puis la liste des automorphismes du disque. Par le théorème de Rouché, une fonction holomorphe non constante sur un ouvert connexe est ouverte, et une fonction holomorphe injective est biholomorphe sur son image.

Les inégalités de Cauchy rendent normale toute famille localement bornée de fonctions holomorphes : de toute suite on extrait une suite qui converge uniformément sur tout compact (théorème de Montel), et le théorème de Hurwitz contrôle les zéros des limites. Ces outils démontrent le théorème de représentation conforme de Riemann : un ouvert connexe non vide, distinct de $\mathbb C$, dans lequel toute fonction holomorphe sans zéro a une racine carrée holomorphe, est biholomorphe au disque unité. La démonstration suit l'itération de Koebe par racines carrées, qui n'utilise aucune forme du choix ; la simple connexité, notion de la topologie algébrique, n'est évoquée qu'en remarque.