Le pas de Koebe : agrandir la dérivée par une racine carrée

(i) L'image $f(\Omega)$ est ouverte (Application ouverte, (iii)) et contient $0 = f(a)$ : elle contient un disque $D(0, t)$, et $r \geqslant t > 0$. L'ensemble $\mathbb D \setminus f(\Omega)$ n'est pas vide, et ses éléments sont de module $< 1$, donc $r < 1$. Par définition de la borne inférieure, tout point de $\mathbb D$ de module $< r$ appartient à $f(\Omega)$.

La borne est atteinte. L'ensemble $Q = \{w : |w| \leqslant \frac{1 + r}{2}\} \setminus f(\Omega)$ est fermé et borné, donc compact (Suites et séries complexes, (iv)), et non vide : il contient les points de $\mathbb D \setminus f(\Omega)$ de module $< \frac{1 + r}{2}$, qui existent puisque $r < \frac{1 + r}{2}$. Le minimum de $|w|$ sur $Q$ (Compacts de ℝ, (iii)) est la borne inférieure $r$, les autres points de $\mathbb D \setminus f(\Omega)$ étant de module $> \frac{1 + r}{2}$ : le cercle $|w| = r$ rencontre $\mathbb D \setminus f(\Omega)$.

L'ensemble $A$ des $\theta \in [0, 2\pi]$ tels que $r\exp(i\theta) \notin f(\Omega)$ est donc non vide, borné, et fermé, comme image réciproque d'un fermé par une application continue ; il a un plus petit élément (Compacts de ℝ, (ii)), qui n'est pas $2\pi$, puisque $\exp(2i\pi) = \exp 0$.

(ii) Existence. Comme $w \notin f(\Omega)$, la fonction $\varphi_w \circ f$ ne s'annule pas sur $\Omega$ ; soit $h$ une racine carrée holomorphe. On a $|h|^2 = |\varphi_w \circ f| < 1$, et $h$ est injective : $h(z_1) = h(z_2)$ entraîne $\varphi_w(f(z_1)) = \varphi_w(f(z_2))$, puis $z_1 = z_2$. Le point $c = h(a)$ vérifie $c^2 = \varphi_w(0) = -w$, donc $|c| = \sqrt r$.

La fonction $G = \varphi_c \circ h$ est holomorphe, injective, à valeurs dans $\mathbb D$, et $G(a) = 0$. En dérivant $h^2 = \varphi_w \circ f$ en $a$, $2c\,h'(a) = \varphi_w'(0)f'(a) = (1 - r^2)f'(a)$ (Automorphismes du disque, (i)). Puis $$\begin{aligned} G'(a) &= \varphi_c'(c)\,h'(a) = \frac{h'(a)}{1 - |c|^2} \\ &= \frac{(1 - r^2)f'(a)}{2c\,(1 - r)}, \end{aligned}$$ dont le module est $\frac{(1 + r)f'(a)}{2\sqrt r} = q(r)f'(a)$. Avec $\lambda = \frac{|G'(a)|}{G'(a)}$, la fonction $g = \lambda G$ est dans $\mathcal F_a$, et $g'(a) = q(r)f'(a)$.

Unicité. Les racines carrées holomorphes de $\varphi_w \circ f$ sur l'ouvert connexe $\Omega$ sont $h$ et $-h$ (Racines carrées holomorphes, (ii)). En remplaçant $h$ par $-h$, on remplace $c$ par $-c$, et $$\varphi_{-c}(-h) = \frac{-h + c}{1 - \bar c h} = -\varphi_c(h) :$$ $G$ devient $-G$. Les fonctions de la forme considérée sont donc les $\lambda G$, $|\lambda| = 1$, et une seule a une dérivée réelle strictement positive en $a$, comme au point (i) du nœud Plongement dans le disque.

(iii) $1 + r - 2\sqrt r = (1 - \sqrt r)^2$, et $2\sqrt r \leqslant 2$.