Plongement d'un ouvert dans le disque unité

(i) La fonction $v = \varphi_{u(a)} \circ u$ est holomorphe, injective comme composée d'injections, à valeurs dans $\mathbb D$, et $v(a) = 0$ (Automorphismes du disque, (i)). Sa dérivée en $a$ est $$v'(a) = \varphi_{u(a)}'(u(a))\,u'(a) = \frac{u'(a)}{1 - |u(a)|^2},$$ non nulle, puisque $u'(a) \neq 0$ (Application ouverte, (iii)). Pour $|\lambda| = 1$, le produit $\lambda v'(a)$ est un réel strictement positif si et seulement s'il est égal à son module $|v'(a)|$, c'est-à-dire si $\lambda = \frac{|v'(a)|}{v'(a)}$.

(ii) Une racine carrée injective. Soit $b \in \mathbb C \setminus \Omega$. La fonction $z \mapsto z - b$ ne s'annule pas sur $\Omega$ ; par la propriété de la racine carrée (Racines carrées holomorphes), elle a une racine carrée holomorphe $h_0$, $h_0(z)^2 = z - b$. Si $h_0(z_1) = \pm h_0(z_2)$, les carrés donnent $z_1 - b = z_2 - b$, donc $z_1 = z_2$.

Ainsi $h_0$ est injective, et $h_0$ ne prend jamais deux valeurs opposées : $h_0(z_1) = -h_0(z_2)$ entraînerait $z_1 = z_2$, puis $h_0(z_1) = 0$, et $z_1 = b$, qui n'est pas dans $\Omega$.

Un disque évité. L'image $h_0(\Omega)$ est ouverte (Application ouverte, (iii)) : elle contient un disque $D(h_0(a), s)$, avec $s > 0$. Pour $z \in \Omega$, on a $|h_0(z) + h_0(a)| \geqslant s$ : sinon $-h_0(z)$ serait dans ce disque, donc égal à $h_0(z')$ pour un $z' \in \Omega$.

Le plongement. La fonction $u = \frac{s}{2(h_0 + h_0(a))}$ est donc holomorphe sur $\Omega$, de module au plus $\frac12$, et injective, puisque $h_0$ l'est. Le point (i) la transforme en un élément de $\mathcal F_a$.

(iii) Pour $\rho' < \rho$, le disque fermé $\overline D(a, \rho')$ est contenu dans $\Omega$, et $|f| < 1$ : l'inégalité de Cauchy (Analyticité) donne $|f'(a)| \leqslant \frac{1}{\rho'}$. On fait tendre $\rho'$ vers $\rho$.