Théorème de l'application ouverte et inversion holomorphe

(i) Le voisinage de $a$. Soit $\rho > 0$ tel que $D(a, \rho) \subset U$. Comme $f - w_0$ n'est pas nulle sur ce disque, le zéro $a$ a un ordre fini $k \geqslant 1$, et $f(z) - w_0 = (z - a)^k u(z)$ avec $u$ holomorphe sur $D(a, \rho)$ et $u(a) \neq 0$ (Singularités isolées, (i)). En dérivant, $$f'(z) = (z - a)^{k-1}\,v(z),$$ où $v(z) = k\,u(z) + (z - a)u'(z)$ vaut $k\,u(a) \neq 0$ en $a$.

Par continuité, il existe $r_0 \in \,]0, \rho]$ tel que $u$ et $v$ ne s'annulent pas sur $D(a, r_0)$. Sur $D(a, r_0) \setminus \{a\}$, ni $f - w_0$ ni $f'$ ne s'annulent. Posons $r = \frac{r_0}{2}$, de sorte que $\overline D(a, r) \subset U$.

Rouché. Le minimum $\delta$ de $|f - w_0|$ sur le cercle $C(a, r)$ existe et est strictement positif (Compacts de ℝ, (iii), appliqué à $t \mapsto |f(a + r\exp(it)) - w_0|$ sur $[0, 2\pi]$). Pour $|w - w_0| < \delta$, les fonctions $F = f - w_0$ et $G = f - w$ vérifient sur le cercle $$|F - G| = |w - w_0| < \delta \leqslant |F|.$$

Par le théorème de Rouché (Théorème de Rouché, (i)), $G$ a dans $D(a, r)$ autant de zéros que $F$, comptés avec leurs ordres, c'est-à-dire $k$, puisque le seul zéro de $F$ dans ce disque est $a$, d'ordre $k$. Si $w \neq w_0$, aucun de ces zéros n'est $a$, et $G' = f'$ ne s'y annule pas : ils sont simples, donc au nombre de $k$ exactement. Pour $w = w_0$, le point $a$ est solution.

(ii) Soit $f$ holomorphe et non constante sur l'ouvert connexe $U$, $O \subset U$ un ouvert et $a \in O$. Si $f - f(a)$ était nulle sur un disque centré en $a$, elle serait nulle sur $U$ (Zéros isolés), et $f$ serait constante. Soit $t > 0$ tel que $D(a, t) \subset O$ : le point (i), appliqué à la restriction de $f$ à ce disque, fournit $\delta > 0$ tel que $D(f(a), \delta) \subset f(O)$. Donc $f(O)$ est ouvert (Topologie d'une distance, (i)).

(iii) Dérivée non nulle. Soit $a \in U$. La fonction $f - f(a)$ n'est nulle sur aucun disque centré en $a$, puisqu'un disque a plus d'un point et que $f$ est injective. Si l'ordre $k$ du zéro $a$ était au moins $2$, (i) fournirait des valeurs $w$ prises $k$ fois. Donc $k = 1$, c'est-à-dire $f'(a) \neq 0$.

Image ouverte, réciproque continue. Le même argument qu'en (ii), appliqué sur des disques contenus dans un ouvert $O \subset U$, montre que $f(O)$ est ouvert. En particulier $f(U)$ est ouvert, et la réciproque $g : f(U) \to U$ est continue, puisque l'image réciproque par $g$ d'un ouvert $O$ de $U$ est $f(O)$ (Applications continues).

Dérivée de la réciproque. Soit $w_1 \in f(U)$ et $z_1 = g(w_1)$. Pour $w \in f(U)$, $w \neq w_1$, on a $g(w) \neq z_1$ et $$\frac{g(w) - g(w_1)}{w - w_1} = \Big(\frac{f(g(w)) - f(z_1)}{g(w) - z_1}\Big)^{-1}.$$ Quand $w \to w_1$, $g(w) \to z_1$ par continuité, et le quotient entre parenthèses tend vers $f'(z_1) \neq 0$ : la limite est $\frac{1}{f'(z_1)}$.