Logarithmes et racines carrées holomorphes

(i) Soit $F$ holomorphe de dérivée nulle sur l'ouvert connexe $U$, et $a \in U$. Si $D(c, t) \subset U$ et $z \in D(c, t)$, le segment $[c, z]$ est dans ce disque, et $F(z) - F(c) = \int_{[c, z]} F' = 0$ (Intégrale curviligne, (ii)).

L'ensemble des $z \in U$ tels que $F(z) = F(a)$ est donc ouvert ; il est fermé dans $U$, par continuité, et non vide. Il est égal à $U$ (Connexité, (b)).

(ii) On a $(h_1 - h_2)(h_1 + h_2) = h_1^2 - h_2^2 = 0$. Si $h_1 - h_2$ n'est pas identiquement nulle, elle est non nulle en un point $c$, donc sur un disque $D(c, t) \subset U$, par continuité ; sur ce disque, $h_1 + h_2 = 0$. Chaque point de ce disque étant un point d'accumulation, $h_1 + h_2$ est nulle sur $U$ (Zéros isolés).

(iii) Une primitive de $g'/g$. La dérivée $g'$ est holomorphe (Analyticité), et $\frac{g'}{g}$ aussi ; soit $L_0$ une primitive holomorphe. La fonction $F = g\exp(-L_0)$ a pour dérivée $g'\exp(-L_0) - gL_0'\exp(-L_0) = 0$ (Exponentielle, (i) ; Fonctions holomorphes, (ii)). Par (i), elle est égale à une constante $\kappa$, non nulle puisque ni $g$ ni $\exp$ ne s'annulent.

La constante est une exponentielle. Écrivons $\kappa = |\kappa|\exp(i\theta)$ (Le nombre π, (iii)). Sur $\mathbb R$, l'exponentielle est continue, vérifie $\exp x \geqslant 1 + x$ pour $x \geqslant 0$, tous les termes de la série étant positifs, et $\exp(-x) = \frac{1}{\exp x}$ : elle prend des valeurs arbitrairement grandes et arbitrairement proches de $0$, et le théorème des valeurs intermédiaires (Valeurs intermédiaires) fournit $x$ réel avec $\exp x = |\kappa|$. Alors $\mu = x + i\theta$ vérifie $\exp\mu = \kappa$ (Exponentielle, (ii)).

Conclusion. $L = L_0 + \mu$ vérifie $\exp L = \exp(L_0)\,\kappa = g$, et $h = \exp(L/2)$ vérifie $h^2 = \exp L = g$. Un ouvert convexe non vide est connexe : c'est la réunion des segments issus de l'un de ses points, images de $[0, 1]$ (Connexes de ℝ) par des applications continues, qui ont ce point en commun (Stabilité de la connexité, (i) et (ii)). Sur un ouvert convexe, toute fonction holomorphe a une primitive (Cauchy, ouverts convexes, avec pour $p$ un point quelconque). Le disque $\mathbb D$ est convexe par l'inégalité triangulaire, et $\mathbb H$ parce que $z \mapsto \operatorname{Im} z$ est \mathbb R-linéaire.

(iv) Soit $\varphi$ une application biholomorphe de $U$ sur $V$, et $G$ holomorphe et sans zéro sur $V$. La composée $G \circ \varphi$ est holomorphe et sans zéro sur $U$ ; soit $H$ une racine carrée holomorphe. Alors $H \circ \varphi^{-1}$ est holomorphe sur $V$, et son carré est $G \circ \varphi \circ \varphi^{-1} = G$.

(v) Supposons $h$ holomorphe sur $W = \mathbb C \setminus \{0\}$ avec $h(z)^2 = z$. Alors $h$ ne s'annule pas, et $2hh' = 1$, d'où $\frac{h'}{h} = \frac{hh'}{h^2} = \frac{1}{2z}$. Le long du cercle $C(0, 1)$, le principe de l'argument (Principe de l'argument, (i)) dit que $\frac{1}{2i\pi}\int_{C(0, 1)} \frac{h'}{h}$ est un indice, donc un entier (Indice d'un lacet, (ii)). Or cette intégrale vaut $\frac{1}{2i\pi}\int_{C(0, 1)} \frac{dz}{2z} = \frac12$ (Intégrale curviligne, (iii)) : contradiction.