Théorème de représentation conforme de Riemann

(i) On reprend les notations des nœuds Plongement dans le disque et Pas de Koebe.

La suite de Koebe. Soit $f_0 \in \mathcal F_a$ (Plongement dans le disque, (ii)). On définit par récurrence (Définition par récurrence) $f_{n+1} = K(f_n)$ si $f_n$ n'est pas surjective, et $f_{n+1} = f_n$ sinon. Si l'une des $f_n$ est surjective, c'est une application biholomorphe de $\Omega$ sur $\mathbb D$ (Application ouverte, (iii)), et l'existence est acquise. Supposons désormais qu'aucune ne l'est, et notons $r_n = r(f_n)$.

Les rayons tendent vers $1$. Soit $\rho > 0$ tel que $D(a, \rho) \subset \Omega$. Par le pas de Koebe (Pas de Koebe, (ii) et (iii)), $f_n'(a) = f_0'(a)\prod_{k < n} q(r_k)$, et chaque facteur est au moins $1 + \varepsilon_k$, avec $\varepsilon_k = \frac{(1 - \sqrt{r_k})^2}{2}$. Un produit de facteurs $1 + \varepsilon_k$, $\varepsilon_k \geqslant 0$, est au moins $1 + \sum \varepsilon_k$, en développant ; et $f_n'(a) \leqslant \frac1\rho$ (Plongement dans le disque, (iii)). Donc $$\sum_{k < n} \varepsilon_k \leqslant \frac{1}{\rho\,f_0'(a)} - 1$$ pour tout $n$ : la série $\sum \varepsilon_k$ converge, son terme général tend vers $0$, et $r_k \to 1$.

La suite $(f_n'(a))$ est croissante et majorée ; elle converge vers un réel $\ell \geqslant f_0'(a) > 0$ (Limite monotone).

La limite. Les $f_n$ sont bornées par $1$ : elles forment une famille localement bornée, et le théorème de Montel (Théorème de Montel) fournit une suite extraite $(f_{\sigma(n)})$ qui converge uniformément sur tout compact de $\Omega$ vers une fonction $f$ holomorphe, avec $f(a) = 0$ et $f'(a) = \lim f_{\sigma(n)}'(a) = \ell > 0$ (Convergence sur les compacts, (iii)).

Ainsi $f$ n'est pas constante ; elle est injective par le théorème de Hurwitz (Théorème de Hurwitz, (iii)), et $|f| \leqslant 1$ comme limite. Si $|f(z)| = 1$ en un point, $|f|$ aurait en ce point un maximum, et $f$ serait constante (Principe du maximum, (ii)) : donc $f$ est à valeurs dans $\mathbb D$, et $f \in \mathcal F_a$.

La limite est surjective. Soit $w \in \mathbb D$, et $t$ tel que $|w| < t < 1$. Comme $r_n \to 1$, il existe $n_0$ tel que $D(0, t) \subset D(0, r_n) \subset f_n(\Omega)$ pour $n \geqslant n_0$ (Pas de Koebe, (i)). Chaque $f_n$ est une application biholomorphe de $\Omega$ sur l'ouvert $f_n(\Omega)$ (Application ouverte, (iii)), et la fonction $$k_n = f_0 \circ f_n^{-1},$$ définie sur $D(0, t)$ pour $n \geqslant n_0$, est holomorphe, à valeurs dans $f_0(\Omega) \subset \mathbb D$, avec $k_n(0) = 0$ et $k_n'(0) = \frac{f_0'(a)}{f_n'(a)}$.

Le théorème de Montel, appliqué sur $D(0, t)$ à la suite $(k_{\sigma(n)})_{n \geqslant n_0}$, bornée par $1$, en fournit une suite extraite $(k_{\nu(j)})$, où $\nu(j)$ est un terme de la suite $\sigma(n)$, qui converge uniformément sur tout compact de $D(0, t)$ vers une fonction holomorphe $k$. Elle vérifie $k'(0) = \frac{f_0'(a)}{\ell} > 0$ : $k$ n'est pas constante.

Pour tout $b \notin f_0(\Omega)$, les fonctions $k_{\nu(j)} - b$ ne s'annulent pas sur le disque, connexe, et leur limite $k - b$ n'est pas identiquement nulle : par le théorème de Hurwitz (Théorème de Hurwitz, (ii)), elle ne s'annule pas. Donc $k(w) \in f_0(\Omega)$, et l'on pose $z^* = f_0^{-1}(k(w)) \in \Omega$.

Les points $z_j = f_{\nu(j)}^{-1}(w) = f_0^{-1}(k_{\nu(j)}(w))$ tendent vers $z^*$, par continuité de $f_0^{-1}$ (Application ouverte, (iii)). Soit $s > 0$ tel que $\overline D(z^*, s) \subset \Omega$ ; pour $j$ assez grand, $z_j$ est dans ce disque, et $$\begin{aligned} &|w - f(z^*)| = |f_{\nu(j)}(z_j) - f(z^*)| \\ &\quad \leqslant \sup_{\overline D(z^*, s)} |f_{\nu(j)} - f| \\ &\qquad + |f(z_j) - f(z^*)|. \end{aligned}$$ Le premier terme tend vers $0$, la suite $(f_{\nu(j)})$ étant extraite de $(f_{\sigma(n)})$, et le second par continuité de $f$ : $f(z^*) = w$.

L'application $f$ est donc une bijection holomorphe de $\Omega$ sur $\mathbb D$, biholomorphe (Application ouverte, (iii)).

Unicité. Si $f$ et $g$ conviennent, $T = g \circ f^{-1}$ est un automorphisme du disque, $T(0) = 0$, et $T'(0) = \frac{g'(a)}{f'(a)} > 0$ : $T$ est l'identité (Automorphismes du disque, (iii)), et $g = f$.

(ii) Si $\Omega$ vérifie les hypothèses, (i) s'applique.

Réciproquement, si $\varphi : \mathbb D \to \Omega$ est biholomorphe, $\Omega$ a la propriété de la racine carrée, puisque le disque l'a (Racines carrées holomorphes, (iii) et (iv)).

Et $\Omega \neq \mathbb C$ : si $F$ était une application holomorphe injective de $\mathbb C$ dans $\mathbb D$, l'inégalité de Cauchy sur le disque $\overline D(c, R)$ (Analyticité) donnerait $|F'(c)| \leqslant \frac1R$ pour tout $c$ et tout $R > 0$, donc $F' = 0$, et $F$ serait constante (Racines carrées holomorphes, (i)) ; c'est l'argument du théorème de Liouville.

Enfin, un ouvert convexe non vide a la propriété et est connexe (Racines carrées holomorphes, (iii) et sa démonstration).