Moyenne sur un cercle et principe du maximum

(i) C'est la formule de Cauchy (Formule de Cauchy, (ii)) au point $z = c$. Avec $w = c + r\exp(it)$, on a $w - c = r\exp(it)$ et $w'(t) = ir\exp(it)$, de sorte que $$\begin{aligned} &\frac{1}{2i\pi}\int_{C(c, r)} \frac{f(w)}{w - c}\,dw \\ &\quad = \frac{1}{2i\pi}\int_0^{2\pi} f\big(c + r\exp(it)\big)\,i\,dt. \end{aligned}$$

(ii) Si $f(c) = 0$, $f$ est nulle sur le disque. Sinon, écrivons $f(c) = |f(c)|\exp(i\theta)$ (Le nombre π, (iii)), et fixons $r \in \,]0, R[$, de sorte que $\overline D(c, r) \subset U$. Posons $u(t) = \exp(-i\theta)\,f\big(c + r\exp(it)\big)$ et $$\varphi(t) = |f(c)| - \operatorname{Re} u(t).$$

Cette fonction est continue, et positive, puisque la partie réelle d'un complexe est majorée par son module et que $|\exp(-i\theta)| = 1$ (Exponentielle, (iii)) : $\varphi(t) \geqslant |f(c)| - |f(c + r\exp(it))| \geqslant 0$.

En multipliant (i) par $\exp(-i\theta)$, on obtient $|f(c)| = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \exp(-i\theta) f(c + r\exp(it))\,dt$. La partie réelle de l'intégrale étant l'intégrale de la partie réelle (Convergence uniforme), il vient $\int_0^{2\pi} \varphi = 0$, et $\varphi$ est nulle (Inégalité de la moyenne, (iii)).

Pour tout $t$, le complexe $u(t)$ vérifie donc $\operatorname{Re} u(t) = |f(c)| \geqslant |u(t)|$. Comme $|u(t)|^2 = (\operatorname{Re} u(t))^2 + (\operatorname{Im} u(t))^2$, on a $\operatorname{Im} u(t) = 0$ et $u(t) = |f(c)|$, c'est-à-dire $f(\zeta) = f(c)$ au point $\zeta = c + r\exp(it)$.

Tout point de $D(c, R)$ autre que $c$ est sur l'un de ces cercles : $f$ vaut $f(c)$ sur tout le disque. Si $U$ est connexe, la fonction $f - f(c)$ s'annule sur ce disque, dont chaque point est un point d'accumulation ; elle est nulle sur $U$ (Zéros isolés).

(iii) Le bord. Si $U \subset \overline D(0, M)$, qui est fermé, alors $\overline U \subset \overline D(0, M)$ : $\overline U$ est fermé et borné, donc compact (Suites et séries complexes, (iv)), et $\partial U = \overline U \cap (\mathbb C \setminus U)$ l'est aussi, comme partie fermée.

Le plan $\mathbb C$ est connexe : c'est la réunion des segments $[0, z]$, images de $[0, 1]$, connexe (Connexes de ℝ), par les applications continues $t \mapsto tz$, et ces segments ont le point $0$ en commun (Stabilité de la connexité, (i) et (ii)). Si $\partial U$ était vide, $U = \overline U$ serait une partie ouverte et fermée de $\mathbb C$, non vide, et distincte de $\mathbb C$ puisque bornée, ce que la connexité interdit (Connexité, (b)).

Le maximum. La fonction continue $|f|$ atteint son maximum sur le compact non vide $\overline U$ en un point $z^*$, et son maximum sur $\partial U$, qui lui est inférieur ou égal (Compacts de ℝ, (iii)). Si $z^* \in \partial U$, les deux maxima sont égaux.

Sinon, $z^* \in U$, et $|f(z)| \leqslant |f(z^*)|$ sur tout disque centré en $z^*$ contenu dans $U$ : par (ii), $f$ est constante sur $U$, égale à $f(z^*)$. L'ensemble des $z \in \overline U$ tels que $f(z) = f(z^*)$ est alors fermé, par continuité, et contient $U$ ; il contient donc $\overline U$, et $|f|$ atteint aussi son maximum sur $\partial U$.

(iv) La fonction $\frac1f$ est holomorphe sur $U$ (Fonctions holomorphes, (ii)), et $\big|\frac1f\big| \leqslant \big|\frac1{f(c)}\big|$ sur le disque : (ii) s'applique.

Dans le cas borné, si $f$ s'annule en un point de $\overline U$, ce point est sur le bord, et les deux minima sont nuls. Sinon, $\frac1f$ est continue sur $\overline U$ et holomorphe sur $U$, et (iii) appliqué à $\frac1f$ donne l'égalité des minima de $|f|$.