Lemme de Schwarz

Le quotient. La fonction $g(z) = \frac{f(z)}{z}$ est holomorphe sur $\mathbb D \setminus \{0\}$, et $z\,g(z) = f(z)$ tend vers $f(0) = 0$ quand $z \to 0$. Par le théorème de prolongement de Riemann (Singularités isolées, (ii), (d) ⇒ (b)), $g$ se prolonge en une fonction holomorphe sur $\mathbb D$, dont la valeur en $0$ est la limite de $\frac{f(z) - f(0)}{z - 0}$, c'est-à-dire $f'(0)$.

La majoration. Fixons $r \in \,]0, 1[$ et appliquons le principe du maximum (Principe du maximum, (iii)) à $g$ sur le disque $D(0, r)$, ouvert borné non vide, connexe comme tout disque (réunion des segments issus de son centre, comme au point (iii) du même nœud). Son adhérence est contenue dans le disque fermé $\overline D(0, r)$, donc son bord dans le cercle $|z| = r$, où $|g(z)| = \frac{|f(z)|}{r} < \frac1r$. Ainsi $|g(z)| \leqslant \frac1r$ pour $|z| < r$.

Pour $z \in \mathbb D$ fixé, cette majoration vaut pour tout $r \in \,]|z|, 1[$ ; en faisant tendre $r$ vers $1$, on obtient $|g(z)| \leqslant 1$. C'est (i), puisque $g(0) = f'(0)$.

(ii) Dans les deux cas, $|g|$ atteint la valeur $1$ en un point de $\mathbb D$, en $z_0$ ou en $0$, alors que $|g| \leqslant 1$ sur $\mathbb D$, qui est connexe. Par la forme locale du principe du maximum (Principe du maximum, (ii)), $g$ est une constante $\lambda$, de module $1$.