Théorème de Montel

Soit $(f_n)$ une suite d'éléments de $\mathcal F$ ; on peut supposer $U$ non vide. La dernière phrase de l'énoncé est le nœud Convergence sur les compacts, (ii) et (iii).

Étape 1 : des bornes uniformes sur les dérivées. Pour $z \in U$, soit $\delta(z)$ la borne supérieure des $t \in \,]0, 1]$ tels que $\overline D(z, t) \subset U$, et $s = \frac{\delta(z)}{2}$. Le disque $K_z = \overline D(z, s)$ est contenu dans $U$ et compact ; soit $M_z$ la borne supérieure des $|f(\zeta)|$, pour $f \in \mathcal F$ et $\zeta \in K_z$, finie par hypothèse.

Pour $\zeta \in D(z, \frac s2)$ et $t < \frac s2$, le disque $\overline D(\zeta, t)$ est contenu dans $K_z$, et l'inégalité de Cauchy (Analyticité) donne $|f'(\zeta)| \leqslant \frac{M_z}{t}$ pour toute $f \in \mathcal F$ ; en faisant tendre $t$ vers $\frac s2$, $|f'(\zeta)| \leqslant L_z$, avec $L_z = \frac{2M_z}{s}$.

Pour $\zeta, \zeta' \in D(z, \frac s2)$, le segment $[\zeta', \zeta]$ est dans ce disque convexe, et $f$ est une primitive de $f'$ (Intégrale curviligne, (i) et (ii)) : $$|f(\zeta) - f(\zeta')| \leqslant L_z\,|\zeta - \zeta'|.$$

Étape 2 : extraction diagonale. L'application $x + iy \mapsto (x, y)$ et le nœud ℚ est dénombrable, (ii), fournissent une injection de $\mathbb Q + i\mathbb Q$ dans $\mathbb N$. L'ensemble $P$ des points de $U$ à coordonnées rationnelles est infini, puisque $U$ contient un disque et que $\mathbb Q$ est dense dans $\mathbb R$ (Densité de ℚ) ; on note $p_0, p_1, \dots$ ses éléments, rangés selon les valeurs croissantes de cette injection.

Toute suite bornée $(u_n)$ de complexes a une suite extraite convergente, désignée sans choix : la démonstration du nœud Bolzano-Weierstrass désigne une extraction $\alpha$ de $(\operatorname{Re} u_n)$ qui converge, puis une extraction $\beta$ de $(\operatorname{Im} u_{\alpha(n)})$, et $(u_{\alpha(\beta(n))})$ converge (Suites et séries complexes, (i)). Notons $E(u) = \alpha \circ \beta$.

La suite $(f_n(p_m))_n$ est bornée par $M_{p_m}$. On définit par récurrence (Définition par récurrence) $\sigma_0 = E\big((f_n(p_0))_n\big)$ et $\sigma_{m+1} = \sigma_m \circ E\big((f_{\sigma_m(n)}(p_{m+1}))_n\big)$, puis $\tau(k) = \sigma_k(k)$.

Chaque $\sigma_{k+1}$ s'écrit $\sigma_k \circ e$, avec $e$ strictement croissante, donc $e(k + 1) \geqslant k + 1$ (Suites extraites), et $\tau(k + 1) = \sigma_k(e(k + 1)) > \sigma_k(k) = \tau(k)$. De même, pour $k \geqslant m$, $\tau(k)$ est de la forme $\sigma_m(e_m(k))$ avec $e_m$ strictement croissante : $(f_{\tau(k)}(p_m))_{k \geqslant m}$ est extraite de la suite convergente $(f_{\sigma_m(n)}(p_m))_n$. Posons $g_k = f_{\tau(k)}$ : la suite $(g_k(p))$ converge en tout point $p$ de $P$.

Étape 3 : convergence uniforme près de chaque point. Soit $z \in U$, $s$ et $L_z$ comme à l'étape 1, $L = L_z + 1$, et $\varepsilon > 0$. Soit $h$ un rationnel strictement positif, inférieur à $\frac s8$ et à $\frac{\varepsilon}{12L}$. Les points $h(j + i\,m')$, $j, m' \in \mathbb Z$, qui sont dans $D(z, \frac s2)$ forment une partie finie $\Gamma$ de $P$. Pour chaque $p \in \Gamma$, la suite $(g_k(p))$ est de Cauchy ; soit $N_p$ le plus petit entier tel que $|g_k(p) - g_l(p)| < \frac\varepsilon3$ pour $k, l \geqslant N_p$, et $N = \max_{p \in \Gamma} N_p$.

Soit $\zeta \in D(z, \frac s4)$. Le point $p = h(j + i\,m')$, où $j$ et $m'$ sont les parties entières de $\frac{\operatorname{Re}\zeta}{h}$ et de $\frac{\operatorname{Im}\zeta}{h}$, qui existent parce que $\mathbb R$ est archimédien, vérifie $|\zeta - p| < h\sqrt2 < 2h$, donc $|p - z| < 2h + \frac s4 \leqslant \frac s2$, et $p \in \Gamma$. Pour $k, l \geqslant N$, l'étape 1 donne $$\begin{aligned} &|g_k(\zeta) - g_l(\zeta)| \\ &\quad \leqslant |g_k(\zeta) - g_k(p)| \\ &\qquad + |g_k(p) - g_l(p)| \\ &\qquad + |g_l(p) - g_l(\zeta)| \\ &\quad < 4Lh + \frac\varepsilon3 < \varepsilon. \end{aligned}$$

Ainsi $(g_k(\zeta))$ est de Cauchy et converge (Suites et séries complexes, (i)) vers un complexe $g(\zeta)$ ; en faisant tendre $l$ vers l'infini, $|g_k(\zeta) - g(\zeta)| \leqslant \varepsilon$ pour $k \geqslant N$ et tout $\zeta \in D(z, \frac s4)$. La convergence est uniforme sur ce disque, et tout point de $U$ en est le centre d'un : par le nœud Convergence sur les compacts, (i), $(g_k)$ converge uniformément sur tout compact de $U$.