Théorème 6Représentation conforme

Convergence uniforme sur tout compact et dérivées

Soit $U$ un ouvert de ${\mathbb C}$ et $(g_k)$ une suite de fonctions de $U$ dans $\mathbb C$ . Elle converge uniformément sur tout compact de $U$ vers $g$ si, pour toute partie compacte non vide $K \subset U$ , $\sup_{z \in K} |g_k(z) - g(z)| \xrightarrow[k \to +\infty]{} 0.$

Énoncé

(i) La suite $(g_k)$ converge uniformément sur tout compact de $U$ vers $g$ si et seulement si tout point de $U$ est le centre d'un disque ouvert contenu dans $U$ sur lequel la convergence est uniforme.

(ii) Si les $g_k$ sont holomorphes et convergent uniformément sur tout compact de $U$ vers $g$ , alors $g$ est holomorphe sur $U$ .

(iii) Dans ce cas, $g_k' \to g'$ uniformément sur tout compact de $U$ ; plus précisément, si $\overline D(c, r) \subset U$ , $\sup_{\overline D(c, r/2)} |g_k' - g'| \leqslant \frac2r\,\sup_{\overline D(c, r)} |g_k - g|.$

Démonstration

(i) Supposons la convergence uniforme sur tout compact. Pour $z \in U$ , il existe $r > 0$ tel que $D(z, 2r) \subset U$ (Topologie d'une distance, (i)) ; le disque fermé $\overline D(z, r)$ est compact (Suites et séries complexes, (iv)), et la convergence est uniforme sur $D(z, r)$ .

Réciproquement, soit $K$ une partie compacte non vide de $U$ . Les disques ouverts contenus dans $U$ sur lesquels la convergence est uniforme recouvrent $K$ ; un nombre fini d'entre eux, $D_1, \dots, D_m$ , suffit. Alors $\sup_K |g_k - g| \leqslant \max_j \sup_{D_j} |g_k - g|$ , maximum de $m$ suites qui tendent vers $0$ . Aucun choix n'intervient : la famille de tous ces disques est définie sans en désigner un pour chaque point.

(ii) La fonction $g$ est continue sur chaque disque de (i), comme limite uniforme de fonctions continues (Convergence uniforme, (i)). Soit $\overline D(c, r) \subset U$ et $|z - c| < r$ . Par la formule de Cauchy (Formule de Cauchy, (ii)), $g_k(z) = \frac{1}{2i\pi}\int_{C(c, r)} \frac{g_k(w)}{w - z}\,dw.$

Sur le cercle, compact, $g_k \to g$ uniformément, et $|w - z| \geqslant r - |z - c| > 0$ : les intégrandes convergent uniformément, et les intégrales aussi (Convergence uniforme, (iii)). Donc $g(z) = \frac{1}{2i\pi}\int_{C(c, r)} \frac{g(w)}{w - z}\,dw$ .

La démonstration du nœud Analyticité n'utilise de $f$ , dans cette formule, que sa continuité sur le cercle : elle s'applique telle quelle et donne $g(z) = \sum_n c_n(z - c)^n$ sur $D(c, r)$ . Une série entière est holomorphe (Dérivation terme à terme), donc $g$ l'est au voisinage de chaque point de $U$ .

(iii) Soit $|\zeta - c| \leqslant \frac r2$ et $t \in \,]0, \frac r2[$ , de sorte que $\overline D(\zeta, t) \subset \overline D(c, r) \subset U$ . L'inégalité de Cauchy pour le coefficient $c_1 = (g_k - g)'(\zeta)$ (Analyticité), appliquée à la fonction holomorphe $g_k - g$ , donne $|g_k'(\zeta) - g'(\zeta)| \leqslant \frac1t \sup_{\overline D(c, r)} |g_k - g|.$ On fait tendre $t$ vers $\frac r2$ . Le second membre tend vers $0$ , le disque fermé étant compact : la convergence des dérivées est uniforme sur $D(c, \frac r2)$ , et (i) conclut.

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Remarque

La suite $z^k$ converge vers $0$ uniformément sur tout compact de $\mathbb D$ , puisqu'un compact de $\mathbb D$ est contenu dans un disque $\overline D(0, \rho)$ avec $\rho < 1$ , où $|z^k| \leqslant \rho^k$ . Elle ne converge pas uniformément sur $\mathbb D$ , où $\sup |z^k| = 1$ pour tout $k$ . C'est pourquoi l'on demande la convergence sur les compacts, et non sur l'ouvert entier.

Remarque

En analyse réelle, une limite uniforme de fonctions dérivables n'est pas toujours dérivable : $\sqrt{x^2 + 1/k}$ converge uniformément vers $|x|$ sur $\mathbb R$ , l'écart étant au plus $\frac{1}{\sqrt k}$ . Le point (ii) n'a donc pas d'équivalent réel ; il tient à ce que la formule de Cauchy exprime $g_k$ par ses valeurs sur un cercle.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que la convergence uniforme sur la droite réelle suffit. La suite $\frac{\exp(ikz)}{k}$ tend vers $0$ uniformément sur $\mathbb R$ , où son module vaut $\frac1k$ , mais ses dérivées $i\exp(ikx)$ sont de module $1$ . Il n'y a pas de contradiction avec (iii) : au point $-iy$ , avec $y > 0$ , le module vaut $\frac{\exp(ky)}{k}$ , et la suite ne converge uniformément sur aucun disque centré en un point réel.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Zéros d'une limite de fonctions holomorphes Théorème de Montel