Zéros d'une limite de fonctions holomorphes

(i) Le minimum $\delta$ de $|g|$ sur le cercle $C(a, r)$ existe et est strictement positif (Compacts de ℝ, (iii)). Le cercle étant compact, il existe $N$ tel que $|g_k - g| < \delta \leqslant |g|$ sur le cercle pour $k \geqslant N$.

Le théorème de Rouché (Théorème de Rouché, (i)), appliqué à $g$ et $g_k$ sur l'ouvert $U$, qui contient le disque fermé, dit que $g_k$ a dans $D(a, r)$ autant de zéros que $g$, comptés avec leurs ordres. Le seul zéro de $g$ dans ce disque est $a$, d'ordre $m$.

(ii) Supposons $g$ non identiquement nulle et $g(a) = 0$. Le zéro $a$ est isolé (Zéros isolés) : il existe $\rho > 0$ tel que $D(a, \rho) \subset U$ et que $a$ soit le seul zéro de $g$ dans ce disque. Son ordre $m$ est fini et au moins $1$ (Singularités isolées, (i)). Avec $r = \frac\rho2$, (i) fournit, pour $k$ assez grand, des zéros de $g_k$ : c'est contraire à l'hypothèse.

(iii) Supposons $g$ non constante, et $g(z_1) = g(z_2) = w$ avec $z_1 \neq z_2$. La fonction $g - w$ n'est pas identiquement nulle, et ses zéros $z_1$ et $z_2$ sont isolés : il existe $r > 0$, inférieur à $\frac{|z_1 - z_2|}{2}$, tel que les disques fermés $\overline D(z_j, r)$ soient contenus dans $U$ et que $g - w$ ne s'y annule qu'en leurs centres.

La suite $g_k - w$ converge vers $g - w$ uniformément sur tout compact. Par (i), appliqué en $z_1$ puis en $z_2$, pour $k$ assez grand, $g_k - w$ a un zéro dans $D(z_1, r)$ et un zéro dans $D(z_2, r)$. Ces disques étant disjoints, $g_k$ prend deux fois la valeur $w$, ce qui contredit son injectivité.