Lemme de Schwarz-Pick

Fixons $z \in \mathbb D$ et posons $F = \varphi_{f(z)} \circ f \circ \varphi_{-z}$. C'est une fonction holomorphe de $\mathbb D$ dans $\mathbb D$ (Automorphismes du disque, (i)), et $F(0) = \varphi_{f(z)}(f(z)) = 0$.

(i) Pour $w \in \mathbb D$, posons $\zeta = \varphi_z(w)$, de sorte que $\varphi_{-z}(\zeta) = w$. Le lemme de Schwarz (Lemme de Schwarz, (i)) donne $|F(\zeta)| \leqslant |\zeta|$, c'est-à-dire l'inégalité annoncée.

(ii) Par la dérivée d'une composée et les valeurs du nœud Automorphismes du disque, (i), $$\begin{aligned} F'(0) &= \varphi_{f(z)}'(f(z))\,f'(z)\,\varphi_{-z}'(0) \\ &= \frac{f'(z)(1 - |z|^2)}{1 - |f(z)|^2}, \end{aligned}$$ et le lemme de Schwarz donne $|F'(0)| \leqslant 1$.

(iii) Dans les deux cas d'égalité, $F$ vérifie l'une des hypothèses du point (ii) du lemme de Schwarz : $F(\zeta) = \lambda\zeta$ avec $|\lambda| = 1$, et $f = \varphi_{-f(z)} \circ F \circ \varphi_z$ est une composée d'automorphismes.

Réciproquement, si $f$ est un automorphisme, (i) appliqué à $f^{-1}$ aux points $f(z)$ et $f(w)$ donne l'inégalité inverse. Pour (ii), $F$ est alors un automorphisme qui fixe $0$, donc une rotation (Automorphismes du disque, (ii)), et $|F'(0)| = 1$.