Lemme de Goursat

(i) Joignons les milieux des côtés : $T$ se découpe en quatre triangles de demi-taille, et $\int_{\partial T} f$ est la somme des quatre intégrales, les côtés intérieurs étant parcourus deux fois en sens opposés. L'une d'elles, notée $T_1$, vérifie $\big|\int_{\partial T_1} f\big| \geqslant \frac14\big|\int_{\partial T} f\big|$.

En itérant, on obtient des triangles emboîtés $T_n$, de périmètre $L 2^{-n}$ et de diamètre $d\,2^{-n}$, avec $$\Big|\int_{\partial T} f\Big| \leqslant 4^n\Big|\int_{\partial T_n} f\Big|.$$ Un sommet de chaque $T_n$ forme une suite de Cauchy, dont la limite $z_0$ appartient à tous les $T_n$, fermés (Suites et séries complexes).

Écrivons $f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z - z_0) + (z - z_0)\varepsilon(z)$ (Fonctions holomorphes). Les deux premiers termes ont une primitive, et leur intégrale sur $\partial T_n$ est nulle (Intégrale curviligne).

Soit $\eta > 0$, et $n$ assez grand pour que $|\varepsilon| \leqslant \eta$ sur $T_n$. Alors $$\Big|\int_{\partial T_n} f\Big| \leqslant L 2^{-n} \cdot d\,2^{-n} \cdot \eta,$$ d'où $\big|\int_{\partial T} f\big| \leqslant Ld\eta$ pour tout $\eta > 0$.

(ii) Si $p \notin T$, c'est (i). Si $p$ est un sommet, disons $p = a$, choisissons $b'$ sur $[a, b]$ et $c'$ sur $[a, c]$ proches de $a$ : $T$ se découpe en $[a, b', c']$, $[b', b, c]$ et $[b', c, c']$, dont les deux derniers ne contiennent pas $p$.

L'intégrale sur $\partial T$ est donc celle sur le petit triangle, majorée par son périmètre fois $\sup_T |f|$, qui tend vers $0$. Si $p$ est sur un côté ou à l'intérieur, on découpe $T$ en deux ou trois triangles de sommet $p$.